Definición de integral de Riemann

Question

Estoy tratando de demostrar que no podemos utilizar la definición de la integral de Riemann como

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n $$ usando la función de Dirichlet. No sé si mi razonamiento tiene sentido cuando digo que no se puede usar como la definición, porque los valores no son únicos:

Por la definición de la integral de Riemann, sabemos que la integral de Riemann $A = \int_{a}^{b} f(x) dx$ es único para todas las funciones $f$, y para todos los intervalos de $[a,b]$ s.t. $a,b, \in \mathbb{R}$. Si hemos de asumir $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \int_{a}^{b} f(x) dx$, $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$ también debe ser único para todas las funciones $f$, y para todos los intervalos de $[a,b]$ s.t. $a,b \in \mathbb{R}$.

Considere la función $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ f(x) = \begin{cases} 1, & \text{if %#%#% is rational} \\ 0, & \text{if %#%#% is irrational} \end{casos} definido en el intervalo de $x$. Sabemos que para cualquier partición $x$$[0,1]$, se puede elegir la $0 = x_0<x_1<x_2<x_3<....<x_N = 1$s a todos los racionales, o no, en cuyo caso las sumas de Riemann son, respectivamente, $[0,1]$ o 0.Como la condición se cumple para cualquier partición, tenemos dos valores de $x'_i$ si dejamos que el número de divisiones de $1-0 =1$ y el ancho de $ \lim_{n \rightarrow \infty } S_n $. Por lo tanto vemos que a pesar de la integral de Riemann $N \rightarrow \infty$ tiene que ser único, el límite de la suma de Riemann $d \rightarrow 0$ puede tener dos valores, dependiendo de los intervalos. Por lo tanto, la igualdad de $A$ no se cumple para todas las funciones y los intervalos.

Answer 1

Sus cálculos son todo OK, pero el problema está en sus definiciones. Es como si usted cree que cualquier función es integrable y toma precisamente la conocida función que no es integrable y que afirman que hay un problema en la definición de la integral!

Usted debe saber que la f se dice ser integrable (en el sentido de Riemann) si el límite de todas las $S_{n}$ existen y tienen el mismo valor que yo, en este caso podemos afirmar dos cosas: la función f es integrable en el sentido de Riemann Y el valor de su integral es común que limitar I. por Lo que si hay al menos dos posibles $S_{n}$ de tal manera que sus límites existen y no son lo mismo, así que esto significa que la función no es integrable. (Tu razonamiento sería cierto, si es cierto que "cualquier función es integrable y su integral es un valor único" pero no es el caso!) Existen muchos otros tipos de integración (al lado de la de Riemann) una de las razones de su existencia es que no todas las funciones son integrables con respecto a sólo un tipo de integración.