¿Cómo puedo calcular el Jacobson radical de R[[x]] si R es una parte integral de dominio? es fácil probar que J(R[x])=0 cuando R es una parte integral de dominio, de manera que R[x] es así que cada f en el Jacobson radical debe ser igual a cero.
Respuestas
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Consideremos la surjective) anillo homomorphism $\varepsilon\colon R[[x]]\to R$ que envía un elemento $f\in R[[x]]$ a su término constante. Si $I$ es un ideal de a$R[[x]]$, $\varepsilon(I)$ es un ideal de a $R$ y tenemos la inducida por surjective homomorphism $$ \varepsilon_I\colon R[[x]]/I\I/\varepsilon(I),\qquad \varepsilon_I(f+I)=\varepsilon(f)+\varepsilon(I) $$ Si $I$ es máxima, a continuación, $R[[x]]/I$ es un campo, por lo $\varepsilon_I$ es un isomorfismo. En particular, $f\in I$ si y sólo si $\varepsilon(f)\in \varepsilon(I)$ $\varepsilon(I)$ es un ideal maximal.
Por el contrario, si $J$ es un ideal maximal de a$R$, $I=J+xR[[x]]$ es un ideal maximal de a $R[[x]]$ $J=\varepsilon(I)$ (demostrarlo).
Por lo tanto $f$ pertenece a todos los máximos ideales de la $R[[x]]$ si y sólo si su término constante pertenece a cada ideal maximal de a $R$, es decir, a la Jacobson radical $J(R)$. Por lo tanto $$ J(R[[x]])=J(R)+xR[[x]] $$
rschwieb
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Considerar el cociente $R[[x]]/(J(R)+xR[[x]])$. Usted debe ser capaz de ver que es Jacobson semisimple, por lo $J(R[[x]])\supseteq J(R)+xR[[x]]$.
Nos gustaría demostrar lo contrario. Se podría utilizar la caracterización de la radical como el conjunto de todos los $x$ tal que $1+xr$ es una unidad para todos los $r$. Como un lexema, recordar que las unidades de $R[[x]]$ son exactamente las cosas con la unidad de términos constantes.
Así, considere la posibilidad de un arbitrario $r\in R[[x]]$ y un arbitrario $j+xr'\in J(R)+xR[[x]]$. Puede usted ver por qué $1+(j+xr')r$ unidad $R[[x]]$?
