Mostrar que $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ es constante.

Question

Deje $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ tal que $\left|f(x)-f(y)\right| \le \|x-y\|^2$ por cada $x,y\in\mathbb{R}^2$. Mostrar que $f$ es constante.

Así que yo creo que si $f$ es constante, a continuación,$\nabla f \equiv 0$.

Deje $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$. Si $f$ es diferenciable en este punto, a continuación, el siguiente límite deben ser cero:

$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} \left| \frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - \langle \nabla f,(x-x_0,y-y_0)\rangle}{\|(x-x_0,y-y_0)\|} \right| = 0$$

Sabemos que:

$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} \left| \frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - \langle \nabla f,(x-x_0,y-y_0)\rangle}{\|(x-x_0,y-y_0)\|} \right| \le \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \left| \frac{\|(x-x_0,y-y_0)\|^2 - \langle \nabla f,(x-x_0,y-y_0)\rangle}{\|(x-x_0,y-y_0)\|} \right| $$

Donde debo tomar desde aquí? He intentado desarrollarlas pero se quedó atascado..

Answer 1

$\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}$En el espíritu del ser como "low-tech" como sea posible, deje $\bx = (x, y)$ ser arbitraria, y para cada entero positivo $n$ considerar los puntos $\bx_{i} = (i/n)\bx$, $0 \leq i \leq n$. Por hipótesis, $$ \left|f(\bx_{i}) - f(\bx_{i-1})\right| \leq \|\bx_{i} - \bx_{i-1}\|^{2} = \frac{1}{n^{2}} \|\bx\|^{2},\quad 1 \leq i \leq n, $$ así $$ \left|f(\bx) - f(\bx_{0})\right| = \left| \sum_{i=1}^{n} f(\bx_{i}) - f(\bx_{i-1})\right| \leq \sum_{i=1}^{n} \left|f(\bx_{i}) - f(\bx_{i-1})\right| \leq \frac{\|\bx\|^{2}}{n}. $$ Desde $n$ fue arbitraria, $f(\bx) = f(\bx_{0}) = f(0, 0)$ todos los $\bx$.

Answer 2

No queremos asumir que $f$ es diferenciable con algunos desconocidos derivado $\nabla f$ (o, técnicamente, la transposición $(\nabla f)'$). Más bien, estamos tratando de demostrar que $f$ tiene una función específica, derivada, es decir, 0, que simplemente requiere que muestra que el límite escribió evalúa a cero, lo que sustituye 0 en lugar de $\nabla f$.