Bases para exterior poderes

Question

He visto la siguiente afirmación varias veces:

Si $V$ es un espacio vectorial sobre $K$ con base $\{e_1,\ldots,e_n\}$, entonces la base para la kth potencia exterior de $V$ está dado por los elementos de a $$\{e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} \mid 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\}$$

Ahora bien, dado que algunos hechos básicos sobre el exterior de poderes, no es difícil mostrar que el anterior conjunto realmente abarca la $k$th potencia exterior. Por otro lado, nunca he visto a una completa prueba de la independencia lineal de este conjunto. Así que mi pregunta es: ¿Cuál es la forma más sencilla de demostrar que $\{e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots \wedge e_{i_k} \mid 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\}$ es linealmente independiente?

Answer 1

Nos introducirá en $n - k$.

Supongamos que existe un trivial dependencia lineal entre la pura tensores de la lista en $\Lambda^k(V)$. A continuación, no todos los tensores de compartir los mismos componentes $e_i$, por lo que hay algunos $i$, que algunos tensor de no contener $e_i$ (y algunos otros tensor). Tome el exterior del producto con $e_i$; esto da una dependencia lineal entre un número menor de puro tensores en $\Lambda^{k+1}(V)$. Repitiendo este argumento vemos que no es suficiente para mostrar que no hay una sola puro tensor puede ser igual a cero. Si $k < n$, entonces basta con retirar el exterior del producto con el resto de la base, por lo que reducimos el caso de $k = n$. Si $k = n$, basta con utilizar cualquiera de los estándar de pruebas de que el determinante existe.

Answer 2

Si desea un acceso fácil referencia, este libro, que está disponible gratis en línea tiene una prueba de que la declaración que usted está buscando en la sección 2.3.2, básicamente, es su "lema 3".