Tengo dos grupos definidos por las presentaciones $$ \langle x, y \mid x^p = y^q \rangle $$ $$ \langle x, y \mid x^{p'} = y^{q'} \rangle $$ donde $p,q,p',q'$ son todos enteros más grandes que $1$ y $ \gcd (p,q) = 1$ , $ \gcd (p',q')=1$ .
No estoy 100% seguro, pero creo que no son isomórficos. Pero no sé cómo probarlo. ¿Alguna idea?
Deje que $G = G_{pq} = \langle x,y \mid x^p=y^q \rangle $ con $p \le q$ . Luego $Z := Z(G)$ es el grupo cíclico infinito generado por $x^p$ y $G/Z$ es el producto libre de grupos cíclicos de pedidos $p$ y $q$ por lo que su abelianización es $C_p \times C_q$ .
Una de las propiedades estándar de los productos libres $A*B$ es que cualquier elemento de orden finito está contenido en un conjugado de $A$ o $B$ . Así que el máximo orden finito de un elemento de $G/Z$ es $q$ .
Ahora si $G_{pq} \cong G_{p'q'}$ con $p \le q$ y $p' \le q'$ Entonces $pq = p'q'$ de las abelianizaciones de $G/Z$ y $q=q'$ de los órdenes máximos de elementos finitos en $G/Z$ y por lo tanto $p=p'$ .
No necesitas la asunción de las compresas.
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