Integral indefinida $\int^{\infty}_{0}\frac{x}{x^4+1}dx$ a través de los residuos

Question

Quiero calcular $\displaystyle \int^{\infty}_{0}\frac{x}{x^4+1}dx$ utilizando el teorema del residuo.

Los polos en el medio plano superior son:

ubicación: $\large e^{\frac{\pi i}4}$ orden: 1, residuo: $\large\frac{1}{4}e^{\frac{3\pi i}2}$
ubicación: $\large e^{\frac{3\pi i}4}$ orden: 1, residuo: $\large \frac{1}{4}e^{\frac{\pi i}2}$

El problema es que la integral de $-\infty$ a $\infty$ desaparece por razones de simetría, por lo que no puedo aplicar el enfoque estándar de poner la mitad de una esfera en la parte superior del eje real y dejar que su radio vaya al infinito. Si se sustituye x por $x^2$ por ejemplo, podría simplemente dividir el resultado por dos. ¿Existe otra forma de integración del contorno para evaluar la expresión superior?

Answer 1

Esas integrales ya fueron discutidas por nosotros en detalle.

Para ser más explícito, usted está pidiendo el caso especial de Interesante fórmula integral para $m=2$ , $n=4$ y $a=1$ . Introduciendo directamente esos valores en la prueba se obtiene lo que se quiere (de todas formas no se utilizan realmente).

Answer 2

Supongamos que estamos interesados en $$I = \int_0^\infty \frac{x}{1+x^4} dx$$

y evaluarlo mediante la integración de $$f(z) = \frac{z}{1+z^4}$$

alrededor de un contorno de rebanada de pizca con el lado horizontal $\Gamma_1$ de la rebanada en el eje real positivo y el lado inclinado $\Gamma_3$ parametrizado por $z= \exp(2\pi i/4) t = \exp(\pi i/2) t = it$ con el dos conectadas por un arco circular $\Gamma_2$ parametrizado por $z= R \exp(it)$ con $0\le t\le \pi i/2.$ Dejamos que $R$ ir al infinito.

La integral a lo largo de $\Gamma_1$ es $I$ en el límite. Además tenemos en el límite $$\int_{\Gamma_3} f(z) dz = - \int_0^\infty \frac{\exp(\pi i/2) t}{1+t^4 \exp(2\pi i)} \exp(\pi i/2) dt \\ = - \exp(\pi i) \int_0^\infty \frac{t}{1+t^4} dt = I.$$

Además $$\int_{\Gamma_2} f(z) dz \rightarrow 0$$ por el límite ML que da como resultado $$\lim_{R\rightarrow \infty} \pi i/2 R \frac{R}{R^4-1} = 0.$$

Los cuatro polos están en $$\rho_k = \exp(\pi i/4 + 2\pi i k/4).$$

Considerando el polo único $\rho_0$ dentro de la rebanada ( $\rho_1 = \exp(\pi i/4 + \pi i/2) = \exp(3\pi i/4)$ por lo que no se encuentra dentro del contorno) nos obtenemos así

$$2 I = 2\pi i \mathrm{Res}_{z=\rho_0} f(z)$$

o

$$I = \pi i \frac{\rho_0}{4\rho_0^3} = \pi i \frac{\rho_0^2}{4\rho_0^4} = -\frac{1}{4} \pi i \exp(\pi i/2) = \frac{\pi}{4}.$$

Observación. Vemos que el trozo de pizza es en realidad un cuarto de trozo y la parametrización puede utilizar la rotación $it$ por $\pi/2$ en todo. Los cuatro polos están centrados en las diagonales de los cuatro cuadrantes.