$f$ tiene un polo simple en el origen. Compara $\rm Res (f,0)$ con $\rm Res (f(1/f), 0 )$

Question

Estoy preparando un examen de habilitación (en lugar de trabajar en tareas que tengo pendientes ahora) y tengo una pequeña pregunta sobre un problema que estaba en un examen de habilitación pasado:

Supongamos que $f$ tiene un polo simple en el origen, y $g$ denota $1/f$ (la función recíproca). Cómo es el residuo en el origen de la función compuesta $f\circ g$ relacionado con el residuo en el origen de $f$ ?

Tengo una posible solución. Sólo que no estoy seguro de ello:

Desde $f$ es holomorfa en un anillo suficientemente pequeño del origen tiene una serie de Laurent convergente centrada en $z=0$ es decir, $$ \frac{c_{-1}}{z}+c_0+c_1z+c_2z^2+\cdots $$ para $c_{-1},c_0,\ldots\in\mathbb{C}$ . Sin embargo, en un anillo lo suficientemente pequeño, $f\simeq c_{-1}/z$ . Por lo tanto, $$ f\circ g=f\left(\frac{1}{f}\right)\simeq f\left(\frac{1}{\frac{c_1}{z}}\right)=f\left(\frac{z}{c_1}\right)=\frac{c_{-1}}{\left(\frac{z}{c_{-1}}\right)}=\frac{(c_{-1})^2}{z} $$ y $($ Res $(f,0))^2=$ Res $(f\circ g,0)$ .

¿Hay algo malo en trabajar con $c_{-1}/z$ en lugar de la serie completa de Laurent? ¿Tendría que trabajar al menos con $$ f(z)=\frac{c_{-1}}{z}+c_0+\mathcal{O}(z)? $$ Suelo tener miedo de trabajar con aproximaciones, pero si estamos en un espacio anular lo suficientemente pequeño no debería haber diferencia (¿no?). Cualquier ayuda se agradecería. Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que lo que quieres hacer es evaluar el comportamiento de

$$c_{-1} \left (\frac{c_{-1}}{z}+c_0+c_1 z+\cdots \right ) +c_0 + \frac{c_1 }{\frac{c_{-1}}{z}+c_0+c_1 z+\cdots}+ \cdots$$

como $|z| \to 0$ . El comportamiento dominante que obtengo es

$$f \left ( \frac1{f(z)} \right ) = \frac{c_{-1}^2}{z} + c_0 (c_{-1}+1) + c_1 \left (c_{-1}+\frac1{c_{-1}} \right ) z+ O \left (z^2 \right )$$

Nótese que todos los órdenes despreciados deben ser al menos cuadráticos en $z$ . Imagino que en un examen de cualificación, tendrás que demostrar que esto es cierto dentro de cualquier anillo arbitrariamente pequeño. Por lo tanto, como se demostró,

$$\operatorname*{Res}_{z=0} \left [ f \left ( \frac1{f(z)} \right ) \right ] = c_{-1}^2$$

y tienes las herramientas para evaluar toda la serie Laurent.