Es cierto que suena sin divisores de cero (integral dominios) puede tener cualquier número de miembros, excepto para 4,6? y si esto es cierto, entonces ¿cuál sería el operador de multiplicación?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Deje $R$ ser finito integral de dominio, con $n=|R|$. A continuación, $R$ es un campo finito, y por lo tanto debemos tener $n=p^k$ para algunos el primer número$p$$k\geq 1$. Por el contrario, para cualquier potencia principal $p^k$, no es una parte integral de dominio con que el número de miembros, a saber,$\mathbb{F}_{p^k}$. Por lo tanto, no es una parte integral de dominio con $n$ elementos si y sólo si $n$ es una potencia de un número primo.
Por lo tanto $\mathbb{F}_4$ es una parte integral de dominio con 4 elementos, pero no existe la integral de dominio con 6 elementos, porque 6 no es una fuente primaria de energía.
La prueba de que cualquier finito integral de dominio $R$ es de hecho un campo finito es bastante simple. Dado cualquier $a\in R$, $a\neq 0$, deje $f:R\rightarrow R$ ser el mapa definido por $f(x)=ax$. Debido a $R$ es una parte integral de dominio, este mapa debe ser inyectiva. Pero debido a que $R$ es finito, un inyectiva mapa de $R$ $R$debe ser un bijection. Por lo tanto, hay algo de $x\in R$ tal que $f(x)=ax=1$, y esto $x$ es un inverso multiplicativo de a $a$.
Podemos definir a la $\mathbb{F}_{p^k}$ a ser el anillo de $\mathbb{F}_p[x]/(f)$ para cualquier irreductible $f\in \mathbb{F}_p[x]$ grado $k$ - no importa lo $f$ nos elija, el resultado es el mismo hasta el isomorfismo. Tenga en cuenta que $\mathbb{F}_p$ es sólo una notación alternativa para $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, de los enteros modulo $p$. Por lo tanto, la multiplicación en $\mathbb{F}_{p^k}$ es simplemente la multiplicación de polinomios, tomado del modulo el polinomio $f$. Por ejemplo, en $\mathbb{F}_4$, tomamos $\mathbb{F}_4=\mathbb{F}_2[x]/(x^2+x+1)$, y dejando $\overline{g}$ denotar $g\in\mathbb{F}_2[x]$ tomado del modulo $x^2+x+1$, la adición y la multiplicación aspecto $$\begin{array}{c|cccc} {\Large +} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{x} & \overline{x+1} \\ \hline \overline{0} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{x} & \overline{x+1}\\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{0} & \overline{x+1} & \overline{x} \\ \overline{x} & \overline{x} & \overline{x+1} & \overline{0} & \overline{1} \\ \overline{x+1} & \overline{x+1} & \overline{x} & \overline{1} & \overline{0}\end{array}\hskip0.5in \begin{array}{c|cccc} {\Large \times} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{x} & \overline{x+1} \\ \hline \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0}\\ \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{x} & \overline{x+1} \\ \overline{x} & \overline{0} & \overline{x} & \overline{x+1} & \overline{1} \\ \overline{x+1} & \overline{0} & \overline{x+1} & \overline{1} & \overline{x}\end{array}$$
seanyboy
Puntos
3170
Xetius
Puntos
10445
ypercube
Puntos
461
Otra forma de definir el campo F4 es mediante la definición de adición con:
$$ 0 + a = a $$
$$ a + a = 0 $$
$$ 1 + 2 = 3 $$
y la multiplicación de tener:
$$ 0 \times a = 0 $$
$$ 1 \times a = a $$
$$ 2 \times 2 = 3 $$
$$ \begin{array}{c|cccc} {\Large +} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} \\ \hline \overline{0} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} \\ \overline{1} & \overline{1} & \overline{0} & \overline{3} & \overline{2} \\ \overline{2} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{0} & \overline{1} \\ \overline{3} & \overline{3} & \overline{2} & \overline{1} & \overline{0} \end{array} \hskip0.5en \begin{array}{c|cccc} {\Large \times} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} \\ \hline \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} \\ \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} \\ \overline{2} & \overline{0} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{1} \\ \overline{3} & \overline{0} & \overline{3} & \overline{1} & \overline{2} \end{array}$$
