Evaluar eficazmente $\int x^{4}e^{-x}dx$

Question

La integral que intento calcular es la siguiente:

$$\int x^{4}e^{-x}dx$$

Obtuve la respuesta correcta pero tuve que integrar por partes varias veces. Lo único es que me llevó mucho tiempo hacer los cálculos. Me preguntaba si hay alguna manera más eficiente de calcular esta integral o es la integración por partes la única manera de hacer esta pregunta.

Edit: Esta pregunta es similar a la pregunta enlazada pero ligeramente diferente porque en la otra pregunta piden cualquier método para integrar la función que incluya integración por partes. En esta pregunta reconozco que la integración por partes es un método que se puede utilizar para evaluar la integral pero estoy buscando la forma más eficiente. Esta pregunta también ha generado respuestas diferentes a la pregunta enlazada como el método tabular.

Answer 1

Aunque sigue implicando la integración por partes, existe un método "rápido" de hacer la integración por partes llamado Método Tabular. Básicamente, se parte de una tabla que tiene $3$ columnas. Una con signos alternos, otra con $u$ y uno con $dv$ . En la columna de $u$ , debes poner el término que eventualmente llegará a cero después de múltiples diferenciaciones. En la última columna está $dv$ que integrará varias veces. Usted querrá elegir algo que todavía se puede integrar varias veces para $dv$ . Así que en $\displaystyle \int x^4e^{-x}\,dx$ podemos crear la siguiente tabla: $$\begin{matrix} & u & dv \\ + &x^4 & e^{-x} \\ - & 4x^3 & -e^{-x} \\ + & 12 x^2 & e^{-x} \\ - & 24x & -e^{-x} \\ + & 24 & e^{-x} \\ - & 0 & -e^{-x}.\end{matrix}$$ ahora tenemos todas las piezas para calcular nuestra solución. Se empieza por la primera $+$ y multiplicar por $u$ término con el $dv$ en la línea siguiente. Continúe este proceso hasta llegar al final de la línea $dv$ columna. Así que nuestra solución es $$\int x^4e^{-x}\,dx = -x^4e^{-x} -4x^3e^{-x} -12x^2e^{-x}-24xe^{-x}-24e^{-x} + C$$

Answer 2

Normalmente este tipo de integrales se pueden manejar haciendo

\begin{align*} \int x^4e^{-x}\,\mathrm dx&=-x^4e^{-x} + (Ax^3+Bx^2+Cx+E)e^{-x} \end{align*} Dónde $A,\;B,\;C$ y $E$ son constantes que satisfacen $$x^4e^{-x}+(-4-A)x^3e^{-x}+(3A-B)x^2e^{-x}+(2B-C)xe^{-x}+(C-E)e^{-x}=x^4e^{-x}$$ Así que \begin{align*} -4-A&=0\\ 3A-B&=0\\ 2B-C&=0\\ C-E&=0 \end{align*} Entonces $A=-4$ , $\;B=3A=-12$ , $\;C=2B=-24$ y $E=C=-24$ entonces \begin{align*} \int x^4e^{-x}\,\mathrm dx&=-(x^4+4x^3+12x^2+24x+24)e^{-x}+K \end{align*} donde $K$ es una constante.

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Además, aquí hay más problema general relacionado .

Answer 3

Aquí tienes un pequeño truco para integrarlo sin utilizar la integración parcial. $$ \int x^4 e^{-x} \,\mathrm dx = \left. \frac{\mathrm d^4}{\mathrm d \alpha^4}\int e^{-\alpha x} \,\mathrm dx \right|_{\alpha=1} = \left.- \frac{\mathrm d^4}{\mathrm d \alpha^4} \frac{1}{\alpha} e^{-\alpha x}\right|_{\alpha=1} $$ La idea es introducir una variable $\alpha$ en el exponente y escriba el $x^4$ como cuarta derivada con respecto a $\alpha$ . Esto es especialmente útil cuando se quiere calcular la integral definida $\int_0^\infty$ porque en este caso la diferenciación se simplifica enormemente. $$ \int\limits_0^\infty x^n e^{-x} \,\mathrm dx = (-1)^n \left. \frac{\mathrm d^n}{\mathrm d \alpha^n} \frac{1}{\alpha} \right|_{\alpha=1} = n!\stackrel{n=4}{=} 24 $$