Cada número primo tiene múltiples de la forma $100\dots01$

Question

Cada número primo (con la excepción de $2,3,5$) tiene un múltiplo de forma $10^k+1$ donde $k\in N$?

Puedo comprobar hasta $29$ y parece ser cierto. Sin embargo consiguió gigantesco. $29\times3448275862069=10^{14}+1$

He Demostrado el uso de encasillar a los que cada primer (con la excepción de $2,5$) tiene múltiples de la forma $10^k-1$ pero no soy capaz de hacerlo con $10^k+1$

Answer 1

$$10^3-1=999=27\times 37.$$ Por lo $10^3\equiv1\pmod {37}$. Modulo $37$ las potencias de diez se $1,10,26,1,10,26,1,\ldots$. Ninguna de estas es $\equiv-1\pmod{37}$.

Answer 2

Nota: $10^k\equiv -1 \pmod p\implies$ el orden de $10\pmod p$ es incluso (si $L$ es el mínimo exponente tal que $10^L\equiv -1\pmod p$, entonces el orden de $10\pmod p$$2L$).

El orden de $10\pmod {31}$ $15$ lo cual es extraño, por lo que la demanda falla en ese caso.