Identidades fundamentales de exponentes

Question

Me encontré con algunas propiedades de "Exponenciales y Logarítmicas Ecuaciones y Desigualdades" en el libro "Problemas en Matemáticas" por V GOVOROV. El problema que estoy enfrentando es de una de las propiedades de la misma.

La propiedad dada en el libro dice así:

$a^x \cdot b^x = (a\cdot b)^x, b>0$

Entiendo el significado de la primera parte de la propiedad, sino de lo que es la necesidad de la condición "b>0" en la propiedad. La propiedad sigue siendo válido si se asume que es "$a=2; b=-3; x=4$"

$$(2)^4 \cdot (-3)^4 = (16) \cdot (81) = 1296$$

$$(2)^4 \cdot (-3)^4 = {2\cdot(-3)}^4 = (-6)^4 = 1296$$

Así que ¿por qué es la condición "$b>0$" requiere?

Answer 1

Porque en general $b^x$ sólo tiene sentido si $b\geq0$. Hay algunos exponentes de números negativos, es decir, potencias de enteros. Pero en general se define $b^x=e^{x\log b}$, que $b>0$. No hay ningún significado natural para algo así como $(-2)^{0.7}$.

Answer 2

la condición es cuando x no es entero sino una fracción o decimal
por ej. Tomar $a=1, b=-1, x=0.1234$
ahora el resultado es %#% $ #%
que es definida en los números reales por lo tanto tiene la condición.
Creo que la condición puede ser $$1^{0.1234}.(-1)^{0.1234}=(-1)^{0.1234}$