Demostrando que hay un número infinito de irreductible monic polinomios sobre un campo

Question

Me había dado este problema, y la solución que se me ocurrió es inquietantemente similar a la del clásico de Euclides prueba de la infinitud de los números primos, así que me siento como que tengo que estar equivocado en algún lugar.

Problema: Dado $k$ cualquier campo, muestran que hay infinitamente muchos irreductible monic polinomios en $k[X]$.

Mi intento: supongamos que hay un número finito de irreductible monic polinomios $f_1, f_2, ..., f_n$. A continuación, considere la posibilidad de $p = 1 + f_1 f_2 ... f_n$, que es monic, ya que todos los $f_i$ son monic y $1$ es constante. Por supuesto, $p$ debe ser reducible, ya que no es igual a ninguno de los $f_i$. Por lo que debe existir algunos $g \in k[X]$ tal que $g$ divide $f_1 f_2 ... f_n$, una contradicción ya que el $f_i$ son asumidos para ser irreductible.

Creo que mi error fue en el supuesto de $p$ no es igual a ninguna de las $f_i$ -- supongo que en algún campo finito tal vez hay un caso en el que podría ser... estoy tratando de trabajar en mi cabeza, si eso es posible.

Estoy en el camino correcto o simplemente apagar totalmente?

TIA!

Jason

EDIT: debe ser que uno de estos $f_i$ debe dividir $p$, ya que el $p$ es reducible, pero eso no es posible porque entonces se tendría que dividir 1.

Answer 1

Es más fácil que eso, en realidad.

Si $k$ es infinito, hay un número infinito de monic lineal de los polinomios, y todos ellos son irreductibles. Si $k$ es finito, $k$ tiene infinidad de extensiones finitas (correspondiente a la contigua apropiado raíces de la unidad), y cada extensión tiene un generador que tiene una monic mínima polinomio sobre $k$ y estos son todos distintos y todos irreductible. QED

Answer 2

No entiendo por qué la prueba es similar a la clásica de Euclides prueba de la infinitud de los números primos puede causar que usted se preguntan si es malo. No me parece esta similitud a ser sorprendente, ya que las declaraciones se probó son similares.

Creo que la prueba está cerca. Una vez que llegue a la etapa en la $1+f_1\cdots f_n$ es reducible, entonces se puede decir que una de las $f_i$ (que es de grado $>0$) divide.

También, añadir que no existe un polinomio irreducible desde $x$ es irreductible.