En álgebra, un "libre X" (donde X es el nombre de una expresión algebraica de la estructura, tales como "grupo", "semigroup", "magma", etc.) básicamente es una estructura algebraica en la que dos expresiones son iguales si y sólo si la definición de" X dice que deben ser.
Por ejemplo, el tipo más simple de estructura algebraica es un magma: un conjunto $S$ equipados con cualquier operador binario $\cdot$, que es sólo necesitan ser cerradas (es decir, que si $a$ $b$ son miembros de $S$, $a \cdot b$ existe y es un miembro de $S$). Un magma no es necesaria para satisfacer cualquier identidades algebraicas excepto el trivial (que dos idénticas expresiones escritas son iguales), y un libre de magma es uno de los que, de hecho, no — dos expresiones libre en un magma (usando solo el dado generadores de variables) son iguales si y sólo si está escrito exactamente de la misma manera.
Formalmente, un libre magma puede ser definido de la siguiente manera:
- Los generadores son (distinta) de los elementos del magma.
- Para cualquier par de elementos de a $a$ $b$ del magma, la expresión $(a \cdot b)$ es un elemento del magma.
- No hay dos expresiones construido en esta forma son iguales, a menos que se escriben de forma idéntica. En otras palabras, la expresión de $(a \cdot b)$ nunca es igual a un generador, y sólo es igual a la expresión $(c \cdot d)$ al$a = c$$b = d$.
- El magma contiene ningún otro elemento.
(Y sí, esta definición implica que cualquier (no vacío) libre de magma debe tener un número infinito de elementos.)
Del mismo modo, un semigroup es un magma que obedece a la ley asociativa $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$, y un libre semigroup puede ser construido por tomar un libre de magma y la identificación de las dos expresiones, que pueden ser idéntico mediante la aplicación de la ley asociativa.
Resulta que, debido a la propiedad asociativa, expresiones en un semigroup siempre puede ser escrito de forma inequívoca y sin paréntesis, simplemente como lo ordena secuencias de elementos separados por el operador binario: cualquier método de reinsertar el paréntesis va a obtener resultados equivalentes en virtud de la ley asociativa. Por lo tanto, otra forma de construir un libre semigroup es el conjunto de todos los de longitud finita $n$-tuplas de los generadores, con la concatenación como el semigroup operador:
- Para todos los generadores $x$, el 1-tupla $(x)$ es un elemento de la semigroup.
- Para cualquiera de los dos tuplas $a = (a_1, \dots, a_m)$ $b = (b_1, \dots, b_n)$ en el semigroup, la concatenación de tupla $a \cdot b = (a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_n)$ es un elemento de la semigroup.
- No existen dos tuplas en la semigroup son iguales, salvo que tengan la misma longitud y exactamente los mismos elementos.
- El semigroup no contiene otros elementos.
Es común también incluyen el vacío tupla $\epsilon = ()$, que actúa entonces como un elemento de identidad, en el libre semigroup. Técnicamente, sin embargo, lo que tenemos entonces es un libre monoid, un monoid ser un semigroup con un elemento de identidad $\epsilon$ que satisface la ley adicional $a \cdot \epsilon = \epsilon \cdot a = a$ todos los $a$.
Finalmente, un grupo es un monoid con la recíproca, es decir, cada elemento de a $x$ de un grupo tiene una inversa elemento $x^{-1}$ tal que $x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = \epsilon$. De nuevo, un grupo libre puede ser obtenido a partir de una libre monoid mediante la adición de los inversos de los generadores, y la identificación de las expresiones que pueden ser idéntico en varias ocasiones la eliminación de pares de elementos adyacentes que son inversos el uno del otro.
Del mismo modo, podríamos por ejemplo, considere la posibilidad de libre abelian grupos, construido mediante la adopción de un grupo libre y la identificación de las expresiones que pueden ser idéntico al aplicar la propiedad conmutativa de la ley de $a \cdot b = b \cdot a$ a reordenar sus elementos (y a la inversa de la extracción de pares); estos resultan ser representable como (finitely compatibles) funciones a partir del conjunto de generadores para los números enteros, donde el valor de la función de dar el número de veces que el generador aparece en la expresión (con la recíproca cuenta como $-1$ aspecto).
O podríamos omitir grupos completamente, y en lugar de considerar por ejemplo, conmutativa monoids; estos pueden ser representados de la misma manera como libre de los grupos, excepto que, ya que no tenemos la recíproca, no generator puede aparecer un número negativo de veces en una expresión. (Libre conmutativa semigroup es el mismo que el de un libre conmutativa monoid, excepto que no tiene identidad.)
