Si $f_n \rightarrow f$ es una secuencia de $L^p$ $g_n \rightarrow g$ un almacén de secuencia de $L^{\infty}$ $f_ng_n \rightarrow fg$ $L^p$

Question

Quiero verificar mi prueba es correcta.

Vamos $p \in [1,\infty)$, $f_n$ una secuencia de $L^p$ que converge a $f$ $g_n$ un almacén de secuencia de $L^\infty$ que converge en casi todas partes a $g$. Mostrar que $f_ng_n$ converge a $fg$ $L^p$

$|g_n| \leq M$ y ahora: $$||f_ng_n -fg ||_p = ||(f_n-f)g_n + (g_n-g)f||_p \leq ||(f_n-f)g_n||_p + ||(g_n -g)f||_p $$ $$\leq ||(f_n-f)||_pM + ||(g_n-g)f||_p $$ Todo queda para hacer es probar que $ ||(g_n-g)f||_p \rightarrow 0.$ Tenemos $$||(g_n-g)f||_p^p = \int |(g_n-g)f|^pd\mu \leq \int(||g_n-g||_\infty)^p|f|^p d\mu= ||g_n-g||_\infty^p\int|f|^p d\mu$$ As $||g_n -g||_\infty \rightarrow 0$ we get $$ ||g_n-g||_\infty^p\int|f|^p d\mu \rightarrow 0$$

Por lo tanto $$||f_ng_n -fg||_p \rightarrow 0.$$ Es mi prueba correcta?

Answer 1

La prueba es correcta. Creo que se podría añadir puntos al final de las ecuaciones si se termina una frase, pero eso es gusto personal.

Si usted desea mejorar la prueba aún más, entonces hay un aspecto que podría ser un poco deficiente. La prueba sufre de un cierto desequilibrio. Por un lado, parecen estar perfectamente cómodo para reclamar que $$ \| (f_n-f) g\|_p \leq \| (f-f_n)\|_p \|g\|_\infty, $$ pero parece que es necesario demostrar que $$ \| f(g_n-g)\|_p \leq \| f\|_p \|(g_n-g)\|_\infty. $$ Para mí, ambos siguen desde el mismo argumento, por lo tanto no está claro por qué probar uno y no el otro. Creo que sería óptimo estado o demostrar de una vez que el $\|f_1 f_2 \|_p \leq \|f_1\|_p \|f_2\|_\infty$ si $f_1 \in L^p$ $f_2 \in L^\infty$ y, a continuación, utilizar esta observación dos veces.