Que me ayude a resolver este enteros de los exponentes de la ecuación:
$$2^{x}+ 5^{y}= 7^{z}$$
Tenemos: $z= \frac{i(2\,\pi\,n-i\,\log(2^{x}+ 5^{y}))}{\log(7)}$
Lo pregunto porque he leído que un poco de complicación de la ecuación que ocurren en el ultimo teorema de Fermat puede conducir a un indecidible caso y me pregunto si el formulario ya es suficiente para lograr esto.
Sólo $x=y=z=1$, correspondiente a $2+5=7$, se puede trabajar. La mayoría de esta prueba rehashes los comentarios, el verdadero propósito aquí es consolidar todos los pasos en un solo lugar.
1) $x$ es impar, o de lo $2^x \equiv 7^z \equiv 1 \bmod 3$ $5^y$ no puede ser divisible por $3$.
2) $y$ es impar, o de lo $5^y \equiv 7^z \equiv 1 \bmod 3$ $2^x$ no puede ser divisible por $3$.
3) Si $x$ $y$ son ambos impares y $x\ge 3$, $2^x+5^y \equiv 0+5=5 \bmod 8$ pero $7^z \in \{1,7\} \bmod 8$. Esto obliga a $x=1$.
4) Si $x=1$$y\ge 2$, $2^x+5^y \equiv 2+0=2 \bmod 25$ pero $7^z \in \{1,7,18,24\} \bmod 25$. Esto obliga a $y=1$ dejando $2+5=7$ como el único posible la igualdad.
Esto es sólo una variante de las ideas en el BAI de la respuesta.
De trabajo de mod $3$ tenemos $2^x+2^y\equiv1$, del que se desprende que $x$ $y$ son ambos impares.
De trabajo de mod $5$ ahora tenemos $2^x\equiv2^z$ (desde $y\not=0$), del que se desprende que $x$ $z$ tienen la misma paridad. En consecuencia $x$, $y$, y $z$ son todos impares (como se indica en BAI original del comentario debajo de la OP!).
De trabajo de mod $4$ y la escritura $z=2k+1$,$2^x+1\equiv3^{2k+1}\equiv3$, por lo que debemos tener $x=1$.
De trabajo de mod $25$, ahora tenemos $2+5^y\equiv7^{2k+1}\equiv(-1)^k7$, del que se desprende que $y=1$ (e $k$ es que aún no, que lo que importa mucho), ya que $2\not\equiv\pm7$ mod $25$.
Ahora sigue que $2^1+5^1=7^1$ es la única solución.
Esta es la respuesta atribuida a @Barry Cipra y un poco de mí mismo.
En primer lugar, $(-1)^x+(-1)^y\equiv 1\pmod 3$, lo que significa que $x,y$ son ambos impares
En segundo lugar, si $x>1$,$1=7^z\pmod 4$, lo que significa que $z=2k$ algunos $k$.
En tercer lugar, modulo $15$ da $2^x+5\equiv 4^k\pmod{15}$, pero $$2^1=2, 2^2=4^1=4, 2^3=8, 2^4=4^2=1\pmod{15}$$, so it's a contradiction. Hence $x=1$ and $z$ es impar.
Adelante, modulo $25$ da, si $y>1$, $2\equiv 7^z\pmod{25}$, pero esto también puede suceder. Y hemos terminado
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
