Encontrar $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos^3 x}{e^x+1} dx$

Question

Encontrar el valor de la siguiente integral

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos^3 x}{e^x+1} dx $$

Traté de usar la doble integral con el pecado y obtener algún resultado, pero nada de lo obvio salió. También, Mathematica da una muy extraño resultado! Alguna idea de cómo resolver analíticamente?

Answer 1

Sugerencia: hacer la sustitución $x\mapsto -x$ y añadir las dos integrales. El resultado debería ser $2/3$.

Answer 2

Como Evaluar la integral de la $\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^3x}{\sin^3x+\cos^3x}\,\mathrm dx$.,

si $\displaystyle I=\int_{-a}^a\dfrac{g(x)\ dx}{b^x+1}$

$\displaystyle I=\int_{-a}^a\dfrac{g(a-a-x)\ dx}{b^{a-a-x}+1}$

Si $g(x)=g(-x)$ es decir, una función par,

$\displaystyle I=\int_{-a}^ag(x)\ dx$

Aquí $g(x)=\cos^3x=\dfrac{\cos3x+3\cos x}4$