Demostrando $\sqrt[3]{2}$ es irracional sin utilizar la descomposición en factores primos

Question

Demostrar que $\sqrt[3]{2}$ es irracional sin utilizar la descomposición en factores primos.

El estándar de prueba de que $\sqrt[3]{2}$ es irracional utiliza la factorización prima de una forma esencial. Así que me preguntaba si hay una prueba de que no la utiliza.

Esto fue inspirado por el hecho de que yo sé de dos pruebas que $\sqrt{2}$ es irracional que no usen la factorización prima.

El primero se utiliza $$\sqrt{2}=\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} $$ para demostrar que si $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$ $$\sqrt{2}=\frac{2-\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}-1}=\frac{2b-a}{a-b} $$ es un racional $\sqrt{2}$ con un menor denominador.

El segundo utiliza $$(x^2-2y^2)^2=(x^2+2y^2)^2-2(2xy)^2 $$ y $3^2-2\cdot 2^2 = 1$ que $x^2-2y^2=1$ ha arbitrariamente grandes soluciones y esto contradice $\sqrt{2}$ ser racional.

No he sido capaz de extender cualquiera de estas pruebas a $\sqrt[3]{2}$. Resultados que no considero "legal" en la solución de este problema incluyen Último Teorema de Fermat (que definitivamente los usos única factorización) y la racional raíz teorema (que utiliza la factorización única en su prueba).

Answer 1

Puedes hacerlo utilizando el concepto de probabilidades y unifica el cual es una especie de mal mans versión única de la factorización prima pero seguramente aceptable. Después de todos los clásicos de la prueba de la irracionalidad de la $\sqrt 2$ utiliza incluso de probabilidades y sin asumir única factorización prima.

Primera nota: Si $b \in \mathbb Z$ $b = 2m$ es incluso, a continuación, $b^3 = 8m^3$ es incluso y si $b = 2m + 1$ es impar, a continuación, $b^3 = 8m^3 + 12m^2 + 6m + 1$ es impar.

Así que si $\frac ab; b\ne 0$ $a$ $b$ en "términos mínimos" (no tienen factores en común, en particular, no son ambos inclusive), y si $(\frac ab)^3 = 2$, entonces....

$2a^3 = b^3$ $b^3$ es uniforme y por lo $b$ es uniforme y por lo $b = 2m$ $2a^3 = 8m^3$ $a^3 = 4m^3$ $a^3$ es uniforme y por lo $a$ es uniforme y por lo $a$ $b$ son ambos inclusive, pero nos dijo que no era el caso, por lo que es imposible y nyah nyah nyah nyah nyah.

Answer 2

En general, existe un teorema conocido como "racionales de las raíces de la prueba", que es como sigue :

Dado enteros $a_0,\ldots,a_n$ ( $n\ge 1$ ) y una raíz racional $p/q$ del polinomio $P=a_nX^n+\ldots+a_0$ ( $(p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N^\star}$ $gcd(p,q)=1$ ), debemos tener $p\mid a_0$$q\mid a_n$.

La prueba de este teorema requiere el teorema de Gauss y no la factorización prima.

La aplicación de a $P=X^3-2$, nos lleva a una lista corta de posibles raíces racionales, y ninguno de ellos es un eficaz raíz de $P$. Como conclusión $P$ no tiene raíces racionales. Y así, $2^{1/3}$ es irracional.

Answer 3

Supongamos $\sqrt[3]{2} = \dfrac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ donde $a, b \in \mathbb{N}_+$, $(a, b) = 1$. Ahora supongamos $n \in \mathbb{N}_+$ satisface$$ (\sqrt[3]{2} - 1)^n < \frac{1}{b}.$$ Tenga en cuenta que no existe $c_0, c_1, c_2 \in \mathbb{Z}$ tal que$$ (\sqrt[3]{2} - 1)^n = c_2 (\sqrt[3]{2})^2 + c_1 \sqrt[3]{2} + c_0, $$ por lo tanto\begin{align*} \sqrt[3]{2} &= \frac{\sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{2} - 1)^n}{(\sqrt[3]{2} - 1)^n} = \frac{\sqrt[3]{2} (c_2 (\sqrt[3]{2})^2 + c_1 \sqrt[3]{2} + c_0)}{c_2 (\sqrt[3]{2})^2 + c_1 \sqrt[3]{2} + c_0} = \frac{c_1 (\sqrt[3]{2})^2 + c_0 \sqrt[3]{2} + 2c_2}{c_2 (\sqrt[3]{2})^2 + c_1 \sqrt[3]{2} + c_0}\\ &= \frac{c_1 \left(\dfrac{a}{b}\right)^2 + c_0 \dfrac{a}{b} + 2c_2}{c_2 \left(\dfrac{a}{b}\right)^2 + c_1 \dfrac{a}{b} + c_0} = \frac{c_1 a^2 + c_0 ab + 2c_2 b^2}{c_2 a^2 + c_1 ab + c_0 b^2}, \end{align*} y$$ c_2 a^2 + c_1 ab + c_0 b^2 = (c_2 (\sqrt[3]{2})^2 + c_1 \sqrt[3]{2} + c_0) b^2\\ \Longrightarrow 0 < c_2 a^2 + c_1 ab + c_0 b^2 = (\sqrt[3]{2} - 1)^n b^2 < b, $$ contradictorio a la minimality de $b$. Por lo tanto, $\sqrt[3]{2} \not\in \mathbb{Q}$.

Answer 4

Si $\sqrt[3]2$ nos racional, sería $a/b$ $a$, $b\in\Bbb N$. Entonces no es $n\in\Bbb N$ $n\sqrt[3]2$ $n\sqrt[3]4$ enteros, decir $n=b^2$. Deje $n$ ser el menor entero positivo $n\sqrt[3]2$, $n\sqrt[3]4\in\Bbb N$. Pero $(\sqrt[3]2-1)n$ sería aún más...

Answer 5

deje $\sqrt[3]{2}=\frac pq.$

entonces $2=\frac{p^3}{q^3}$ , $2q^3=p^3$, $ q^3+q^3=p^3.$

Pero

'El Último Teorema de Fermat" (a veces llamada conjetura de Fermat, especialmente en los textos más antiguos) señala que no hay tres números enteros positivos $a$, $b$, y $c$ satisfacer la ecuación de $a^n + b^n = c^n$ para cualquier valor entero de $n$ mayor que $2$.