Mostrar que la unidad de círculo no es homeomórficos a la línea real

Question

Mostrar que $S^1$ no es homeomórficos a $\mathbb{R}^1$ o $\mathbb{R}^2$

$\mathbf{My \ solution}$:

Así que primero vamos a mostrar que el $S^1$ no es homeomórficos a $\mathbb{R}^1$. Para demostrar que ellos no son homeomórficos necesitamos encontrar una propiedad que tiene en $S^1$, pero no se sostiene en $\mathbb{R}^1$ o vice-versa. $S^1$ es compacto $\mathbb{R}^1$ no es compacto.

El conjunto $\{1\} $ es cerrado, y el mapa $$f: \Bbb R^2 \longrightarrow \Bbb R,$$ $$(x, y) \mapsto x^2 + y^2$$ es continua. Por lo tanto, el círculo $$\{(x,y) \in \Bbb R^2 : x^2 + y^2 = 1\} = f^{-1}(\{1\})$$ está cerrado en $\Bbb R^2$.

Set $S^1$ también es limitada, ya que, por ejemplo, está contenida dentro de la bola de radio $2$ centrada en 0 de $\Bbb R^2$ (en el estándar de la topología de $\Bbb R^2$).

Por lo tanto es también compacto.

Sin embargo real de la línea de $\Bbb R^1$ no es porque no es una cubierta de abrir intervalos que no tiene un número finito de subcover. Por ejemplo, los intervalos (n−1, n+1) , donde n toma todos los valores enteros en $\mathbb{Z}$, cubierta $\mathbb{R}$ pero no es finito subcover.

Por lo tanto $S^1$ no puede ser isomorfo a $\mathbb{R}^1$.

Cómo mostrar ahora que $S^1$ no es homeomórficos a $\mathbb{R}^2$? Puedo mostrar ahora de la misma manera? No se pueden homeomórficos desde $S^1$ es compacto $\mathbb{R}^2$ no. Cómo mostrar que $\mathbb{R}^2$ no es compacto?

Answer 1

Usted puede, sin duda, muestran que estas usando la compacidad. Las siguientes pruebas, sin embargo, me parece más sencillo:

La eliminación de cualquier punto de $\Bbb R$ resultados en una desconectado espacio, pero si se quita un punto de $S^1$, usted todavía tiene conectado el espacio.

La eliminación de cualquiera de los dos puntos de $S^1$ resultados en una desconectado espacio, pero si se quita de dos puntos de $\Bbb R^2$, usted todavía tiene conectado el espacio.

Answer 2

Para demostrar $\mathbb R^2$ no es compacto: se supone que es. La imagen de un espacio compacto bajo un mapa continuo es compacto. La asignación de $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R, (x,y)\mapsto x$ es continua y tiene la imagen de $\mathbb R$. Por lo tanto $\mathbb R$ es compacto. Pero en la pregunta, se demostró que $\mathbb R$ es no compacto. Contradicción.

Para mostrar $S^1$ no es homeomórficos a $\mathbb R^2$: $S^1$ es compacto, sino $\mathbb R^2$ no lo es. Hecho.

Answer 3

Suponga que $\mathbb{R}^2$ es homeomórficos a $S^1$. Usted ya demostró que la $S^1$ es compacto. Deje $\mathcal{O}=\{O_i\}_{i\in I}$ ser una cubierta abierta de a $\mathbb{R}^2$ e $f: \mathbb{R}^2\S^1$ a homeomorphism. Then $f(\mathcal{S})=\bigcup\limits_{i\in I}f(O_i)$ is an open cover for $S^1$, by compactness of $S^1$ it must contain a finite open subcover $\{f(O_{i_j})\}_{j=1}^k$. Esto le da,

$$\{f(O_{i_j})\}_{j=1}^k \supset S^1 \implies \{O_{i_j}\}_{j=1}^k\}\supset \mathbb{R}^2$$

lo que significa que $\mathbb{R}^2$ es compacto, contradicción.

Answer 4

Si $f:S^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ fue una homeomorphism entonces, desde la $S^{1}$ es compacto, $f(S^{1}) = \mathbb{R}^{1}$ tendría que ser compacto. Una contradicción.

El mismo argumento funciona con $\mathbb{R}^{2}$.