Express $x^4 + y^4 + x^2 + y^2$ como suma de cuadrados de tres polinomios en $x,y$

Question

No conozco ninguna identidad que me ayude a simplificarlo. Conozco la identidad de Brahmagupta e intenté usarla pero no sirvió. ¿Alguna pista? Edit: Hasta ahora he probado varias cosas, $(x^2+1/2)^2 + (y^2 +1/2)^2 -1/2$ Esto no me lleva a ninguna parte. Intenté resolver en x como un cuadrático para obtener una idea o algo así, pero eso tampoco ayudó. Incluso intenté escribir polinomios generales de grado también y luego obtener la solución comparando coeficientes, pero eso no era elegante y era demasiado computacional.

Answer 1

Dejar constante real $$ t = \sqrt{\sqrt 8 - 2} $$ para que $$ \frac{t^4}{4} + t^2 = 1. $$ Entonces $$ \left(-x^2 + \frac{t^2}{2} y^2 \right)^2 + \left( t y^2 + x \right)^2 + \left( txy - y \right)^2 = x^4 + y^4 + x^2 + y^2 $$

AÑADIDO: al parecer esto se preguntó y respondió hace seis años, y yo lo comenté allí.

Answer 2

Como aplicación del teorema de los tres cuadrados de Legendre, este problema no tiene solución en $\mathbb Z[x,y]$ . De hecho, supongamos $$f(x,y)=x^4+y^4+x^2+y^2=(h_1(x,y))^2+(h_2(x,y))^2+(h_3(x,y))^2$$ por lo que uno tiene $$f(1,3)=92=(h_1(1,3))^2+(h_2(1,3))^2+(h_3(1,3))^2$$ Pero $$92=4(2\cdot8+7)$$

Esto es imposible; para el teorema anterior, $92$ no puede representarse como una suma de tres cuadrados ( que uno o dos de los $h_i(1,3)$ ser cero se descarta fácilmente ).

Answer 3

Más bien un comentario: Hilbert demostró que esto era posible en 1888 (un cuártico definido positivo en dos variables siempre puede escribirse como una suma de cuadrados de tres polinomios). Véase, por ejemplo, la discusión de la prueba en [1]. Pero es un resultado muy poco trivial, y la demostración no es especialmente constructiva.

[1] W. Rudin. Sumas de cuadrados de polinomios. Amer. Math. Monthly , $107(9):813–821$ , $2000$ .

Answer 4

Sólo una observación, se considera una escritura $$f(x,y)= (x,y,x^2, xy, y^2) M (x,y,x^2, xy, y^2)^t$$ donde $M$ es un simétrico $5\times 5$ matriz. Supongamos que $M$ es semidefinida positiva. Diagonalizando $M$ producirá una escritura de $f$ como suma de cuadrados. Para tener tres cuadrados, necesitamos que el rango de $M$ es como máximo $3$ . Así que ahora el problema es encontrar una matriz semidefinida positiva $M$ de rango como máximo $3$ y satisfaciendo la igualdad.