Patrones en los números primos

Question

• $13$ es primo
• $\frac {14}2$ es primo
• $\frac {15}3$ es primo

Lo mismo ocurre con $2017$ y he encontrado casos en los que esto se mantiene incluso hasta $6$ Otros han demostrado que funciona incluso hasta $10$ . Mi pregunta:

¿Hay alguna manera de demostrar que siempre existirá un número primo tal que $p$ , $\frac{p+1}{2}, \frac{p+2}{3}, \frac{p+3}{4},\dots, \frac{p+n}{n+1}$ ¿son todos números primos?

¿Cuál es el mayor valor de $n$ ¿para qué es posible?

Answer 1

A continuación se muestra una prueba de la relación entre $p$ y $n$ Así que.., no es una respuesta .

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Primas mayores que $5$ puede dividirse en 2 subconjuntos de tipo $6n+1$ y $6n+5$ . Es fácil ver que $p+1=6n+5+1=6(n+1) \Rightarrow \frac{p+1}{2}=3(n+1)$ que no es un primo. Por lo tanto, podemos descartar $6n+5$ clase de primos. En particular, $13=6\cdot2+1$ .

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Vamos a ver los primos $p=6n+1$ . Nosotros puede escribir $6n=2^{k}n_1$ , donde $n_1$ es impar es decir $$p=2^{k}n_1+1 \tag{1}$$ y $n_1>1$ ya que hay $3$ en $6n$ .

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Propuesta $$n<2^k-1 \tag{2}$$

Fácil de ver desde: $$q_1=\frac{p+1}{2}$$ $$q_2=\frac{p+2}{3}$$ $$...$$ $$q_{2^k-1}=\frac{p+2^k-1}{2^k}\overset{(1)}{=}\frac{2^{k}n_1+1+2^k-1}{2^k}=n_1+1$$ Pero $n_1$ es impar, por lo tanto $q_{2^k-1}=n_1+1$ es par y, por tanto, definitivamente no es primo.