Es racional

Question

Los siguientes increíble la identidad puede ser verificada directamente por la mano. $$\sin\left(\frac{\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{11\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{13\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{17\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{19\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{23\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{29\pi}{30}\right) = \frac{1}{2^8} $$ Esto hace que me pregunte:

Pregunta. Podemos encontrar arbitrariamente largas secuencias de números primos $p_1<p_2<\cdots<p_k$ tal que el producto $$\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\sin\left(\frac{p_1\pi}{n}\right)\sin\left(\frac{p_2\pi}{n}\right)\cdots\sin\left(\frac{p_k\pi}{n}\right)$$ es racional para algún entero $n>p_k$.

Otros ejemplos son: $$\begin{align} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) &= \frac{1}{2} \\ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) &= \frac{1}{2^2} \\ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{8}\right) &= \frac{1}{2^3} \\ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{11\pi}{12}\right) &= \frac{1}{2^5} \\ \sin\left(\frac{\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{11\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{13\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{17\pi}{18}\right) &= \frac{1}{2^6} \\ \sin\left(\frac{\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{11\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{13\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{17\pi}{18}\right) &= \frac{1}{2^7} \\ \sin\left(\frac{\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{11\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{13\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{17\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{19\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{23\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{29\pi}{30}\right) &= \frac{1}{2^8} \\ \sin\left(\frac{\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{11\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{13\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{17\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{19\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{23\pi}{30}\right)\sin\left(\frac{29\pi}{30}\right) &= \frac{1}{2^9} \end{align} $$ El más largo que he encontrado es $$\sin\left(\frac{\pi}{38}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{38}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{38}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{38}\right)\sin\left(\frac{11\pi}{38}\right)\sin\left(\frac{13\pi}{38}\right)\sin\left(\frac{17\pi}{38}\right)\sin\left(\frac{19\pi}{38}\right)\sin\left(\frac{23\pi}{38}\right)\sin\left(\frac{29\pi}{38}\right) = \frac{1}{2^9}$$ Tenga en cuenta que rompe el patrón de $n=p_k+1$. Tenga en cuenta también que no todos los ejemplos tienen números primos consecutivos.

Answer 1

Considere la posibilidad de un producto: $$ \prod_{m_i}^{}2\sin\frac{\pi m_i}{n}, $$ donde $m_i$ son números enteros: $$ 0< m_1< m_2<\cdots < m_N< n.$$ Obviamente el número de multiplyers $N<n$. Como todos los multiplicadores son algebraica de los números enteros el producto es racional si y sólo si es un entero.

Esto sucede particularmente si $m_i$ es un conjunto de números coprime a $n$: $\gcd(m_i,n)=1$. Contiene: $$ P_n:=\prod_{m_i}^{\gcd(m_i,n)=1}2\sin\frac{\pi m_i}{n}= \begin{cases} 1,& n\ne p^k\\ p,& n=p^k \end{casos},\etiqueta{1} $$ donde $p$ es un número primo, y $k$ es un entero positivo. La expresión (1) puede ser probado de forma similar al resultado citado en un comentario anterior, el uso de cyclotomic polinomios $\Phi_n(z)$ en lugar de $\frac{z^n-1}{z-1}$.

Deje $\cal D_n$ ser un conjunto (no es necesario completar) de los distintos divisores de $n$ (excluyendo $1$) y deje $l_i$ ser el conde de primer potencias $p_i^k$ en el conjunto. Entonces $$ \prod_{d\en\cal D_n} P_d=\prod_i p_i^{l_i}.\la etiqueta{2} $$ En particular para establecer $\cal D^*_n$ contiene todos prime poderes dividiendo $n$ se obtiene: $$ \prod_{d\en\cal D^*_n} P_d=n.\la etiqueta{3} $$ La expresión mencionada en el comentario anterior representan un caso particular de (3).

Observar los casos especiales $n=2$$n=6$. Son excepcionales como no sólo el producto, sino también a los multiplicadores de los mismos son enteros. Es particularmente permite multiplicar la expresión por $P'_6=2\sin\frac{\pi}{6}$ solo. Muy general, si el lado derecho de (2) es un cuadrado perfecto, se puede utilizar sólo la mitad de los senos recoger uno de los par $(\sin\frac{\pi m_i}{n},\sin\frac{\pi (n-m_i)}{n})$ para obtener aún resultado entero. Denotamos este caso como $\sqrt{P_n}$. En este sentido $P'_6\equiv\sqrt{P_6}$.

En el lado izquierdo de (2) suponemos que los argumentos de los senos se reducen a común denominador $n$. La correspondiente numeradores son por lo tanto $\displaystyle m_i\equiv m_i^{(n)}=m_i^{(d)}\frac{n}{d}$. De ello se sigue que si $m_i$ se requiere para ser primer o 1 las únicas combinaciones posibles son $$ P_n, \sqrt{P_n},\etiqueta{4} $$ donde esta última forma sólo puede ser utilizado si $n$ no es una fuente primaria de energía. Si $n=2p$ o $n=6p$ $p$ ser un primer las expresiones (4) se puede multiplicar, además, por $P_2$ o $P'_6$, respectivamente.

Y, de hecho, todos los ejemplos en cuestión son de la forma (4). En el mismo orden en que aparecen en la pregunta, la LHS, puede ser simbólicamente representado como: $$ P_4, P_6P_2, P_8, P_{12}P'_6, P_{18}, P_{18}P'_6, P_{30}P'_6, \sqrt{P_{38}} P_2. $$

La razón de su igualdades puede ser visto en el hecho de que los conjuntos de $m_i$ coprime a $n$ consisten en todos los casos excepto para la última exclusivamente de números primos.

Teniendo en cuenta, en el caso de $n=38$ la tabla de coprimes a $38$: $$ \begin{matrix} 1&3&5&7&9&11&13&15&17\\ 37&35&33&31&29&27&25&23&21 \end{de la matriz}, $$ uno fácilmente se observa que cada par contiene al menos un primer y el resultado sigue como $38=2\cdot19$ no es una fuente primaria de energía.

El punto de la anterior consideración es la siguiente. La construcción de largo racional de productos de prime $m_i$ sobre estas líneas es casi imposible, ya que la lista de números de coprime a un gran $n$ no puede consistir exclusivamente de los números primos (de hecho $n=30$ es el más grande número), e incluso el truco similar para el caso de $n=38$ no funcionará en un largo plazo.

Existen sin embargo mucho más secuencias de los mencionados en la pregunta. Las más largas por los tests numéricos son: $$ \sqrt{P_{105}}, \sqrt{P_{140}}, \sqrt{P_{180}}, \sqrt{P_{210}}, $$ todo consta de 24 multiplicadores. Se puede afirmar que no existen secuencias de la estructura necesaria para $n>210$.

Sin embargo, consciente de que el argumento anterior acerca de la imposibilidad de muy largas secuencias se basa en el supuesto de que por cualquier fija $n$ no otros subconjuntos de a $m_i$ coprime a$n$, excepto para aquellos que aparece simbólicamente en (4) puede conducir a la multiplicación de enteros resultado.