Calcular la integral de la $\int_0^{x} (\lfloor t+1 \rfloor)^3dt$

Question

Aquí está la integral, $$\int_0^{x} (\lfloor t+1 \rfloor)^3dt$$

Tengo algunos conocimientos de informática de las integrales de discontinuo funciones, pero el cubo de la función y de la variable independiente límite que me confunde un poco.
También tenga en cuenta que el cubo está fuera de la función del suelo como por escrito.
Gracias por la ayuda..

Answer 1

$$\int_0^x [ t+1 ]^3 dt = \sum_{i=1}^{[x]}\int_{i-1}^{i}[ t+1 ]^3 dt + \int_{[x]}^{x}[ t+1 ]^3 dt $$ $$=\sum_{i=1}^{[x]}\int_{i-1}^{i}i^3 dt + \int_{[x]}^{x}[x+1]^3 dt =\sum_{i=1}^{[x]}i^3+ [x+1]^3\cdot(x-[x]) $$ $$ = \frac{[x]^4+2[x]^3+[x]^2}{4} + [x+1]^3\cdot(x-[x])$$