Hamming(7,4) de la matriz de decodificación?

Question

La codificación de un 4bit palabra (vector) $w$ se puede hacer fácilmente por $c := Gw$. La decodificación de un código de Hamming(7,4) código normalmente se hace por primera computing $p = Hc$ donde $p$ es cero, si no hay 1 error de bit, o $p$ es la posición de la 1 bit de error.

Es posible tener una matriz de $K$ que genera de manera automática la palabra corregida cuando se multiplica por una palabra clave?

Endcoding y Decodificación de las matrices en $\mathbb F_2$ $$G= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$$

Answer 1

Un señalado en los comentarios, que usted está buscando una matriz de $K$ que las salidas de la palabra corregida cuando se multiplica por un perturbado la palabra, es decir, una palabra de distancia $\le\!1$ a partir de una palabra clave.

No hay tal $K$ existe. Por ejemplo, supongamos que codifican la palabra $w = 0000$ para obtener la palabra clave $c = Gw = 0000000$. El perturbado codewords son las palabras de peso $\le\!1$. Pero si $Kw = w = 0$ todos los $x$ peso $1$$K = 0$.