¿Cuál es el número de soluciones reales de la siguiente? $\sqrt{x + 3 - 4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x + 8 - 6\sqrt{x-1}} = 1$

Question

¿Cuál es el número de soluciones reales de la siguiente? $$\sqrt{x + 3 - 4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x + 8 - 6\sqrt{x-1}} = 1$$

Mi solución: $$\sqrt{x + 3 - 4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x + 8 - 6\sqrt{x-1}} = 1$$ $$\implies \sqrt{(\sqrt{x-1}-2)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1}-3)^2} = 1$$ $$\implies (\sqrt{x-1}-2) + (\sqrt{x-1}-3) = 1$$ $$\implies \sqrt{x-1} = 3$$

Así que, $x = 10$ es la única solución.

Pero la clave de respuestas (y Wolfram alpha también) dice que hay un número infinito de soluciones para esta ecuación. ¿Dónde me equivoco?

Answer 1

Separa las raíces cuadradas y eleva al cuadrado ambos lados. Si se aísla el término $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}$ , después de simplificar se obtendrá:

$$\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=3-\sqrt{x-1}$$

Elevando al cuadrado ambos lados se obtiene de nuevo:

$$x+8-6\sqrt{x-1}=9-6\sqrt{x-1}+x-1$$

Lo cual es válido para todos los $x$ . Se deduce que la ecuación original es cierta para cualquier $x$ en el dominio del lado izquierdo. Esto es $5\le x\le 10$ .

Answer 2

Para ver de dónde vienen las soluciones infinitas, primero hay que tener en cuenta que: $$\sqrt{(\sqrt{x-1}-2)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1}-3)^2} = 1 \iff 1=|\sqrt{x-1}-2| + |\sqrt{x-1}-3|$$ Consideremos ahora el caso en el que $5\le x\le10$ . Esto implica que: $$\sqrt{x-1}-2\ge\sqrt{5-1}-2=0 \qquad \text{and} \qquad\sqrt{x-1}-3\le\sqrt{10-1}-3=0$$ Así obtenemos: $$1=|\sqrt{x-1}-2| + |\sqrt{x-1}-3| = (\sqrt{x-1}-2) - (\sqrt{x-1}-3) = 1$$ Como hemos obtenido una tautología ( $1=1$ ), se deduce que cualquier $x\in[5,10]$ satisface la ecuación.

Answer 3

Sucede que, para las elecciones de los argumentos de los radicales en este problema, podemos hacer que esto sea un poco menos de un dolor de cabeza para pensar al notar que el establecimiento de $\ u = \sqrt{x-1} \ \Rightarrow \ u^2 = x - 1 \ $ reduce la ecuación original a

$$\sqrt{(u^2 + 4) - 4u} \ + \ \sqrt{(u^2 + 9) - 6u} \ = \ 1 \ \Rightarrow \ | u - 2 | \ + \ | u - 3 | = 1 \ .$$

[En este punto, esto es similar a Adriano el argumento de la empresa.]

Como estos términos deben ser positivos o nulos, podemos elegir, por ejemplo, $\ | u - 2 | = a \ $ y $\ | u - 3 | = 1 - a \ ,$ con $\ 0 \le a \le 1 \ .$ Dos de las posibles ecuaciones, $\ u - 2 = a \ $ y $\ 3 - u = 1 - a \ $ producir $\ u = 2 + a \ $ , mientras que el uso de $\ 2 - u \ = a \ \Rightarrow \ u = 2 - a \ $ o $\ u - 3 \ \Rightarrow \ 1 - a \ \Rightarrow \ u = 4 - a \ $ no son resultados coherentes entre sí.

Así que tenemos el intervalo único,

$$0 \ \le \ a \ \le \ 1 \ \Rightarrow \ 2 \ \le \ u = 2 + a \ \le \ 3 \ .$$

(Gráfico $\ | u - 2 | \ + \ | u - 3 | = 1 \ $ lo confirma). A partir de esto, tenemos

$$4 \ \le \ u^2 = x - 1 \ \le \ 9 \ \Rightarrow \ 5 \ \le \ x \ \le \ 10 \ .$$