Local de reciprocidad de Artin, para un número finito de abelian extensión de $L/K$ $K$ $p$- ádico de campo,
es un isomorfismo $K^{\times}/N_{L/K}(L^{\times}) \cong Gal(L/K)$.
Parece particulares interesados en la unramified caso, pero permítanme tratar el
arbitraria primer caso.
Pasando a la inversa límite a más de $L$, se obtiene un isomorfismo
$$\varprojlim{} K^{\times}/N_{L/K}(L^{\times}) \cong G_K^{ab}.$$
Como Mephisto notas en su respuesta, la norma grupos de alcance sobre todos los abiertos
subgrupos de $K^{\times}$, y así podemos reescribir esto como
un isomorfismo
$$\widehat{K^{\times}} \cong G_K^{ab},$$
donde $\widehat{K^{\times}}$ es el profinite finalización de $K^{\times}$.
Recordemos que, si elegimos un uniformizer $\pi$$K$,
a continuación,$K^{\times} \cong \mathcal O^{\times} \times \mathbb Z$,
donde $\mathcal O$ denota el anillo de los números enteros en $K$, y el isomorfismo
está dada por la asignación de un elemento $a \in K^{\times}$ a
$\bigl(a/\pi^{v(a)}, v(a) \bigr),$ donde $v: K^{\times} \to \mathbb Z$
es la valoración, normalizado a través de $v(\pi) = 1$.
Por lo tanto $\widehat{K^{\times}} \cong \mathcal O^{\times} \times \hat{\mathbb Z}$.
(Recordemos que $\mathcal O^{\times}$ es su propia profinite finalización,
pero $\mathbb Z$ no; dejamos $\hat{\mathbb Z}$ denotar la profinite finalización
de $\mathbb Z$.)
Ahora podemos entender lo que sucede si nos restringimos a unramified extensiones.
La valoración $v: K^{\times} \to \mathbb Z$ induce una proyección
$\widehat{K^{\times}} \to \hat{\mathbb Z}$, la cual es independiente de la elección
de $\pi$. Del mismo modo, hay una surjection $G_K^{ab} \to Gal(K^{nr}/K)$.
El último grupo es isomorfo a $\widehat{Z}$; es, naturalmente, identificado con
la absoluta grupo de Galois de los residuos de campo, y es topológicamente generado
por Frobenius.
En virtud de la reciprocidad isomorfismo
$\widehat{K^{\times}} \cong G_K^{ab}$, la proyección de a $\widehat{Z}$ sobre el
de origen y de la proyección de a $Gal(K^{nr}/K)$ en el de destino son compatibles
con el isomorfismo $\widehat{Z} \cong Gal(K^{nr}/K)$ dado por la asignación de $1$ a Frobenius.
Ahora podemos llevar en Weil grupos. La definición general de la Weil grupo es algo involucrados, la participación de las clases fundamentales en $H^2(L/K, L^{\times})$,
pero después de ordenar todo, encontrará que el Weil
grupo $W_K$ puede ser identificado con un subgrupo de $G_K$, es decir, la preimagen
en virtud de la natural mapa de $G_K \to Gal(K^{nr}/K) \cong \hat{\mathbb Z}$ de
el subgrupo $\mathbb Z \subset \widehat{\mathbb Z}$. A partir de esto, uno ve
que $W_K^{ab}$ puede ser identificado con el subgrupo de $G_K^{ab}$, lo que de nuevo
es la preimagen en virtud de la natural mapa de $G_K \to Gal(K^{nr}/K) \cong \hat{\mathbb Z}$ del subgrupo $\mathbb Z\subset \widehat{\mathbb Z}$.
Si volvemos a la discusión anterior de nuestro reciprocidad mapa, vemos que
el isomorfismo $\widehat{K^{\times}} \cong G_K^{ab}$ restringe a un isomorfismo $K^{\times} \cong W_K^{ab}$. El inverso de este es el isomorfismo que usted está buscando, supongo.
Si se restringe a la unramified caso, entonces tenemos que pasar al cociente
$\mathbb Z$ $K^{\times}$ , y el cociente $\mathbb Z \subset \widehat{\mathbb Z} = Gal(K^{nr}/K)$$W_K^{ab}$, y, a continuación, el isomorfismo
sólo se convierte en $\mathbb Z = \mathbb Z$.
Comentarios adicionales: Hay varias confusiones en su pregunta. Aquí están algunos: escribir $W_K$ pero te refieres a $W_K^{ab}$. (Weil grupo en sí no es
abelian, como $G_K$ no es abelian.) Usted dice que usted quiere que el general Artin
la reciprocidad isomorfismo $W_K$ [sic] $\to K^{\times}$, pero, a continuación, restringir
atención a unramified extensiones. Como se señaló anteriormente, estos sólo se puede ver el cociente $\mathbb Z$ $W_K^{ab}$ y el correspondiente cociente $\mathbb Z$
de $K^{\times}$. Tienes que ir a pedir un continuo homomorphism
$\varprojlim{} K^{\times}/N_{L/K}(L^{\times}) \to K^{\times}.$ Dejando de lado la cuestión de que el lado de la mano izquierda debe involucrar a todos los abelian $L$$K$,
no sólo la unramified (o de lo contrario el lado izquierdo será demasiado pequeño),
no hay tal mapa, ya que el lado izquierdo es profinite y el lado derecho tiene una discreta factor (como se señaló anteriormente). Lo correcto es profinitely completa $K^{\times}$, y uno tiene la reciprocidad isomorfismo
se discutió anteriormente.
Otros comentarios: Aquí están algunas observaciones adicionales, impulsado en parte por el intercambio de comentarios a continuación.
A nivel técnico, pasando de $G_K$ $W_K$simplemente reemplaza el $\widehat{\mathbb Z}$ cociente de $G_K$ viene desde el mapa de $G_K \to Gal(K^{nr}/K) \cong \widehat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$, de modo que en lugar de escribir la reciprocidad isomorfismo como un isomorfismo
$\widehat{K^{\times}} \cong G_K^{ab}$ que puede volver a escribir como un isomorfismo
$K^{\times} \cong W_K^{ab}$, y así evitar el paso de $K^{\times}$ a
$\widehat{K^{\times}}$.
En cuanto a por qué hacemos esto: una de las razones es que el $K^{\times}$ es lo que aparece como un factor local en el ideles, no $\widehat{K^{\times}}$. Existen otras motivaciones. Una cosa para recordar es que la definición original de la
Weil grupo es no como la preimagen de $\mathbb Z \subset \widehat{\mathbb Z}$
en $G_K$, pero en términos de las clases fundamentales de la clase de teoría de campo;
así que el Weil grupo surge de forma natural desde este punto de vista. Para más motivaciones, de este MO post pueda ser de ayuda.
