Para qué primos $p$ ¿hay una raíz en la ecuación $x^3+x^2-2x-1$ mod $p$ ? No tengo ni idea de por dónde empezar, ¡se agradece cualquier ayuda! Gracias
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Drealmer
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2284
Esta es una pregunta con trampa, por la siguiente razón. En primer lugar, si abordamos esta cuestión "honestamente", y preguntamos por los cúbicos genéricos, no hay mucho que se pueda decir a nivel elemental, en parte (indirectamente) porque el grupo de Galois sobre $\mathbb Q$ probablemente no sea abeliana (por lo que, secretamente, la "teoría de campos de clases", el estudio bien desarrollado de cuestiones de este tipo para abeliano las prórrogas no se aplicarían).
Sin embargo, ya que se plantea la pregunta, se puede sospechar que el grupo de Galois sobre $\mathbb Q$ es abeliana. Tanto porque uno no está dispuesto a calcular un discriminante de un cúbico, como porque uno sospecha que el polinomio es especial De todos modos, mi reacción es preguntarme si es la cúbica más sencilla que conozco con grupo de Galois abeliano sobre $\mathbb Q$ es decir, que para el subcampo cúbico del campo de las séptimas raíces de la unidad (con grupo de Galois cíclico de orden $6$ por lo que admite un único subcampo cúbico).
De hecho, un truco estándar que se remonta al menos a 240 años atrás: de $x^6+x^5+\ldots+x+1=0$ dividiendo por $x^3$ , da $x^3+x^2+x+1+x^{-1}+x^{-2}+x^{-3}=0$ . Dejar $y=x+x^{-1}$ encontramos $y^3+y^2-2y-1=0$ . [Edición: terrible error tipográfico: el $y^2$ término fue escrito anteriormente como $y$ . ¡Perdón!]
Por lo tanto, esa factorización cúbica significa que hay un factor lineal, por lo que una séptima raíz de la unidad es a lo sumo cuadrática sobre $\mathbb F_p$ . Es decir, o hay una raíz séptima de $1$ en $\mathbb F_p$ ya, que es $7|(p-1)$ o en la extensión cuadrática, por lo que $7|(p^2-1)$ . Esta última condición subsume a la primera, por lo que la condición es $7|(p^2-1)$ que es $p=\pm 1\mod 7$ ya que $7$ es primo.
Edición: como en los comentarios de Will Jagy, el cúbico $x^3+x^2-4x+1$ aparentemente es un cúbico con raíces en el único subcampo cúbico del 13º campo ciclotómico. :)
Edición-edición-edición: de hecho, como señala Gerry M, las raíces 9ª de la unidad tienen un subcampo cúbico posiblemente más sencillo. Y/pero nosotros reconocer que cúbico, en efecto. Quizá las generaciones futuras reconozcan todos los subcampos cúbicos de las raíces 7 y 13. :)
Stephan Aßmus
Puntos
16
Discriminante $361 = 19^2, $ Tengo raíces para $p \equiv 1,7,8,11,12,18 \pmod{19}.$ Entonces para el discriminante $1369 = 37^2, $ Tengo raíces para $p \equiv 1,6,8,10,11,14,23,26,27,29,31,36 \pmod{37}.$
Salida para $19:$
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./rootmod
cubic x^3 + x^2 - 6 x - 7, discriminant = 361.
p p % 19 roots, if any
2 2
3 3
5 5
7 7 0 2 4
11 11 1 3 6
13 13
17 17
19 0 6
23 4
29 10
31 12 15 19 27
37 18 14 29 30
41 3
43 5
47 9
53 15
59 2
61 4
67 10
71 14
73 16
79 3
83 7 43 58 64
89 13
97 2
101 6
103 8 41 74 90
107 12 9 30 67
109 14
113 18 5 15 92
127 13
131 17
137 4
139 6
149 16
151 18 37 119 145
157 5
163 11 12 23 127
167 15
173 2
179 8 95 108 154
181 10
191 1 109 116 156
193 3
197 7 11 80 105
199 9
211 2
223 14
227 18 71 184 198
229 1 19 101 108
233 5
239 11 57 80 101
241 13
251 4
257 10
263 16
269 3
271 5
277 11 93 219 241
281 15
283 17
293 8 28 99 165
307 3
311 7 97 236 288
313 9
317 13
331 8 56 96 178
337 14
347 5
349 7 87 113 148
353 11 161 205 339
359 17
367 6
373 12 50 115 207
379 18 113 121 144
383 3
389 9
397 17
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ Salida para $37:$
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./rootmod
cubic x^3 + x^2 - 12 x + 11, discriminant = 1369.
p p % 37 roots, if any
2 2
3 3
5 5
7 7
11 11 0 3 7
13 13
17 17
19 19
23 23 9 14 22
29 29 7 24 26
31 31 9 23 29
37 0 12
41 4
43 6 4 16 22
47 10 12 15 19
53 16
59 22
61 24
67 30
71 34
73 36 15 28 29
79 5
83 9
89 15
97 23 16 86 91
101 27 5 27 68
103 29 57 59 89
107 33
109 35
113 2
127 16
131 20
137 26 68 94 111
139 28
149 1 19 36 93
151 3
157 9
163 15
167 19
173 25
179 31 42 50 86
181 33
191 6 6 40 144
193 8 100 129 156
197 12
199 14 27 178 192
211 26 94 154 173
223 1 47 65 110
227 5
229 7
233 11 43 63 126
239 17
241 19
251 29 105 183 213
257 35
263 4
269 10 96 187 254
271 12
277 18
281 22
283 24
293 34
307 11 28 60 218
311 15
313 17
317 21
331 35
337 4
347 14 43 111 192
349 16
353 20
359 26 138 285 294
367 34
373 3
379 9
383 13
389 19
397 27 170 251 372
401 31 23 166 211
409 2
419 12
421 14 42 156 222
431 24
433 26 225 234 406
439 32
443 36 193 277 415
449 5
457 13
461 17
463 19
467 23 62 180 224
479 35
487 6 24 129 333
491 10 8 72 410
499 18
503 22
509 28
521 3
523 5
541 23 18 170 352
547 29 110 158 278
557 2
563 8 66 520 539
569 14 272 315 550
571 16
577 22
587 32
593 1 97 107 388
599 7
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$
Stephan Aßmus
Puntos
16
Sólo algunas ejecuciones informáticas. El punto aquí es que los discriminantes son positivos y cuadrados. Mientras tanto, el disco 49 primero,
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./rootmod
cubic x^3 + x^2 - 2 x - 1, discriminant = 49.
p p % 7 roots, if any
2 2
3 3
5 5
7 0 2
11 4
13 6 7 8 10
17 3
19 5
23 2
29 1 3 7 18
31 3
37 2
41 6 14 30 37
43 1 8 15 19
47 5
53 4
59 3
61 5
67 4
71 1 4 14 52
73 3
79 2
83 6 10 15 57
89 5
97 6 25 30 41
101 3
103 5
107 2
109 4
113 1 9 24 79
127 1 24 36 66
131 5
137 4
139 6 5 23 110
149 2
151 4
157 3
163 2
167 6 19 25 122
173 5
179 4
181 6 37 43 100
191 2
193 4
197 1 95 140 158
199 3
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ A continuación, preferiblemente un bloque de código separado, el disco 169, obtenemos (excepto el propio 13) raíces cuando $p \equiv 1,5,8,12 \pmod {13}$
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./rootmod
cubic x^3 + x^2 - 4 x + 1, discriminant = 169.
p p % 13 roots, if any
2 2
3 3
5 5 2 3 4
7 7
11 11
13 0 4
17 4
19 6
23 10
29 3
31 5 9 25 27
37 11
41 2
43 4
47 8 22 33 38
53 1 20 39 46
59 7
61 9
67 2
71 6
73 8 7 12 53
79 1 17 66 74
83 5 37 53 75
89 11
97 6
101 10
103 12 54 68 83
107 3
109 5 8 31 69
113 9
127 10
131 1 5 27 98
137 7
139 9
149 6
151 8 80 86 135
157 1 20 33 103
163 7
167 11
173 4
179 10
181 12 28 67 85
191 9
193 11
197 2
199 4
211 3
223 2
227 6
229 8 6 39 183
233 12 107 136 222
239 5 38 45 155
241 7
251 4
257 10
263 3
269 9
271 11
277 4
281 8 31 103 146
283 10
293 7
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$
Stephan Aßmus
Puntos
16
Intentando poner un tercer juego de mesas. Esta vez dejé fuera los primos sin raíces. Sólo he llegado hasta los primos lo suficientemente grandes como para obtener al menos dos de cada clase de residuo para el que la cúbica tiene raíces. De todos modos $p = 61, 79, 97.$
$$61^2 = 3721$$
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./rootmod
cubic x^3 - 61 x + 183, discriminant = 3721.
p % 61 p roots, if any
0 61 0
1 367 16 120 231
1 733 85 668 713
1 977 484 613 857
3 1223 353 387 483
3 3 0 1 2
3 491 53 156 282
3 613 101 531 594
3 857 156 346 355
8 1289 103 367 819
8 191 10 64 117
8 313 30 132 151
8 557 45 101 411
9 1229 624 640 1194
9 131 12 46 73
9 619 28 118 473
9 863 482 610 634
11 1109 126 348 635
11 11 6 7 9
11 1231 524 724 1214
11 1597 630 1018 1546
11 499 166 373 459
11 743 380 391 715
20 1301 707 757 1138
20 1423 572 970 1304
20 569 284 299 555
20 691 14 29 648
23 1487 814 953 1207
23 23 2 8 13
23 389 225 245 308
23 877 129 136 612
24 1061 417 710 995
24 1427 116 371 940
24 1549 311 1323 1464
27 149 18 41 90
27 271 129 154 259
27 881 15 118 748
28 1187 321 993 1060
28 1553 56 696 801
28 211 20 72 119
28 577 39 206 332
28 821 517 523 602
28 89 23 73 82
33 1009 540 637 841
33 277 85 221 248
33 521 48 120 353
33 643 213 509 564
33 887 363 657 754
34 1193 342 895 1149
34 1559 58 131 1370
34 461 88 91 282
34 827 481 572 601
37 1013 183 411 419
37 281 11 103 167
37 37 19 24 31
37 647 36 259 352
37 769 195 205 369
38 1319 203 277 839
38 587 279 428 467
38 709 431 460 527
38 953 136 863 907
41 163 88 108 130
41 41 1 17 23
41 773 438 527 581
50 1087 94 433 560
50 1453 215 407 831
50 233 108 159 199
50 599 26 126 447
52 113 24 92 110
52 479 131 374 453
52 601 76 164 361
52 967 140 283 544
53 1151 258 348 545
53 419 81 83 255
53 53 19 42 45
53 541 91 477 514
53 907 21 319 567
58 1217 267 360 590
58 1583 939 974 1253
58 241 46 76 119
58 607 352 429 433
60 1097 146 1001 1047
60 487 95 429 450
60 853 424 504 778 $$ 79^2 = 6241 $$
cubic x^3 + x^2 - 26 x + 41, discriminant = 6241.
p % 79 p roots, if any
0 79 26
1 1423 68 542 812
1 317 119 236 278
8 1193 650 817 918
8 719 97 285 336
8 877 112 179 585
10 1511 762 1081 1178
10 563 86 158 318
10 89 20 70 87
12 1039 122 229 687
12 881 10 113 757
14 251 7 53 190
14 409 8 71 329
14 883 71 822 872
15 1279 97 451 730
15 173 30 34 108
15 331 92 117 121
15 647 226 443 624
17 1123 649 713 883
17 1439 642 1080 1155
17 1597 546 1098 1549
17 17 1 4 11
17 491 135 400 446
18 1361 787 837 1097
18 571 42 160 368
18 887 339 611 823
18 97 16 84 93
21 179 83 134 140
21 337 18 24 294
21 653 78 150 424
21 811 402 593 626
22 101 19 84 98
22 1049 498 731 868
22 1523 855 1010 1180
22 733 78 217 437
27 1291 212 378 700
27 659 379 440 498
33 1297 28 417 851
33 191 31 77 82
33 349 184 189 324
33 823 306 624 715
38 1223 297 1027 1121
38 1381 749 848 1164
38 433 90 126 216
38 907 49 140 717
41 199 23 183 191
41 41 0 16 24
41 673 383 434 528
46 1231 91 1151 1219
46 283 146 190 229
46 599 53 555 589
46 757 153 219 384
52 1237 382 1004 1087
52 131 39 42 49
52 1553 710 907 1488
57 1163 148 234 780
57 1321 461 974 1206
57 373 37 344 364
58 137 6 37 93
58 1559 444 458 656
58 769 442 517 578
61 1009 263 320 425
61 1483 675 869 1421
61 61 5 23 32
62 457 39 167 250
62 773 175 213 384
64 1091 180 193 717
64 1249 383 426 439
64 617 9 91 516
65 1013 120 331 561
65 1171 644 751 946
65 1487 723 793 1457
65 223 26 68 128
67 1489 308 475 705
67 383 186 284 295
67 541 21 32 487
67 67 19 48 66
67 857 304 654 755
69 227 114 155 184
69 701 132 278 290
69 859 442 454 821
71 1019 195 890 952
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cubic x^3 + x^2 - 32 x - 79, discriminant = 9409.
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