Siempre he tenido problemas para recordar esto. ¿Es cierto que una curva sobre un campo no-algebraico-cerrado es normal implica que es no singular? ¿Por qué un esquema dimensional 1? ¿Qué dimensión 2? Creo que oí una vez que las superficies sobre un campo no-cuerpo algebraicamente cerrado es normal significa que es no singular. ¿Es cierto for2 esquemas dimensionales? ¿Cuál es la razón por la que estos teoremas son de pequeñas dimensiones, pero no para dimensiones superiores?
Respuestas
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kevtrout
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Este no es el punto de la pregunta original, pero desde que soy aritmética aparejador, me parece muy interesante.
A través de una nonperfect campo de tierra, hay que distinguir entre regular (todos los locales de los anillos son regulares) y lisa (Jacobiana condición; lo que es equivalente, el cambio de base a la clausura algebraica es regular).
Emerton el ejemplo de una regular pero no suave curva es "algo barato", porque no es geométricamente integral. Aquí está una geométricamente integral de ejemplo que muestra que el fenómeno no es tan misterioso, pero firmemente conectado a la existencia de inseparables campo de extensiones:
Sea k un imperfecto campo de la extraña característica p, por lo que existe una inseparable de campo de extensión l/k de grado p, necesariamente monogénicas (dado que el grado es primo): decir $l \cong k[t]/(P(t))$ donde $P(t)$ es inseparable polinomio. En concreto, podemos tomar $P(t) = t^p - y$ algún elemento $y \in k$. A continuación, el (único regular proyectiva modelo de) la curva hyperelliptic
$y^2 = P(x)$
es regular pero no suave, ya que tras el cambio de base de a $l$ el polinomio $P(t)$ tiene múltiples raíces.
JimmyJ
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En general, la normalidad implica regular en codimension 1 (para ser precisos, la normalidad es equivalente a $(R_1)$ $(S_2)$ por Serre). Así que para las curvas, lo que implica la regularidad. Para la dimensión 2, mira Spec ($k[x,y,z]/(x^2+y^2+z^3)$). Es normal, pero no regular.
EDIT: una Parte de mí no puede resistirse a decir algo más, incluso después de las muy buenas respuestas de Emerton y Pete (advertencia: el siguiente contenido puede ser molesto para algunos espectadores (: ). Como ya he comentado (ver el último párrafo de Emerton de la respuesta), $(S_2)$ puede ser bastante difícil de comprobar. Que acaba de estado lo que es. $X$ se dice $(S_n)$ si:
$$ \text{depth}\ \mathcal O_{X,x} \geq min \{n, \text{dim} \mathcal O_{X,x} \} \ \forall x\in X$$
La profundidad de un anillo local $(R,m)$ es el menor índice de $i$ de manera tal que el local cohomology $H^i_m(R)$ no es cero.
Así que ¿cómo es que nunca necesitamos que preocuparse acerca de la comprobación de esto? Debido a que la mayoría de las veces, ya sabemos algo más fuerte sobre nuestra variedad: integralmente cerrado, Cohen-Macaulay, Gorenstein, completa intersecciones en liso, etc. Pero puede ser muy difícil comprobar que, sin conocimientos previos. Permítanme dar un poco de ejemplo famoso.
Conjetura(Hartshorne): Vamos a $X$ ser un suave subvariedad de codimension 2 en $\mathbb P^{n}_{\mathbb C}$. Suponga que $n\geq 6$. A continuación, $X$ es una completa intersección! (EDIT: la versión Hartshorne declaró requiere de $n\geq 7$, pero no creo que ninguna contra-ejemplo que se conoce al $n=6$).
(esto está estrechamente relacionado con la conjetura de que no hay ningún rango 2 vector de paquetes en $\mathbb P^{n}_{\mathbb C}$$n\geq 6$.)
Lo que es relevante aquí es el resultado de Evan-Griffith(teorema 2.3), que dice que en el supuesto de la Conjetura, si el afín de cono de $X$$S_2$, $X$ es completa intersección. Se que solo tenemos que demostrar $(S_2)$dad de la cono! Pero la conjetura sigue abierto después de más de 30 años.
Para las curvas sobre un campo $k$, normal implica regular. (El punto es que una normal Noetherian anillo local de dimensión uno es automáticamente regular, es decir, un DVR.) Si $k$ no es perfecto, entonces no podría ser suave sobre la $k$.
La razón es que en este caso es posible tener un local normal $k$-álgebra de dimensión uno cuya base de cambio de a $\overline{k}$ es no regular. (Por otro lado, suavidad sobre $k$ es preservada por base el cambio, ya que es una condición determinental en Jacobians.)
Aquí está una (algo barato) ejemplo: supongamos $l$ ser un no-separables de la extensión de $k$ (que existe desde $k$ no es perfecto), y deje $X = \text{Spec} l[t],$ a pesar de como $k$-esquema. Este va a ser regular, pero no suave sobre la $k$.
En la dimensión 2, incluso a través de una algebraicamente cerrado de campo, normal no implica regular (y así, en particular, no implica suave). Lo Normal es equivalente a tener la singular locus ser de codimension 2 o superior (así, por una superficie, sólo un montón de puntos) (esto es lo Serre llamadas R_1) junto con la condición de que si una función racional en algunos subconjunto abierto no tiene polos en codimension uno, de hecho, es habitual que el conjunto abierto (esto es Serre la condición de S_2).
Para una superficie en ${\mathbb P}^3$, que es necesariamente corta por una sola ecuación, la condición de $S_2$ es automática (esto es cierto de cualquier local completa intersección en una variedad lisa), lo normal es equivalente a la singular locus 0-dimensional.
Para las superficies en las dimensiones superiores proyectiva del espacio, $R_1$ $S_2$ son independientes condiciones; o bien puede ser satisfecha sin el otro. Y, ciertamente, los dos juntos (es decir, la normalidad) son aún más débiles que las de suavidad.
De Serre del criterio (lo normal es equivalente a $R_1$$S_2$) se puede ver que la normalidad sólo implica condiciones de codimension uno o dos. Por lo tanto para curvas dice mucho, para superficies que se dice algo, pero no se aparta más de la suavidad de la mayor dimensión de la variedad.
Edit: Como Hailong señaló en un comentario (ahora retirado), no debería decir que S_2 es una condición sólo en la dimensión 2; se debe verificar que todos los puntos. Nunca los menos, en algún suficientemente vaga nivel, el espíritu de la anterior observación es verdadera: $R_1$ $S_2$ captura menos y menos información acerca de la estructura local de la variedad, mayor es la dimensión de la variedad.
sickgemini
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2001
Nick Cox
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