Proyección de un subgrupo normal en semidirect producto

Question

Considere la posibilidad de un semidirect producto $N\rtimes G$. Considerar el mapa de proyección $\pi_N\colon N\rtimes G\to N$. Supongamos $\Gamma\unlhd N\rtimes G$ es un subgrupo normal y que $\pi_N[\Gamma]=H$ es un subgrupo de $N$.

Qué $H$ tienen que ser normales?

Parece que debería ser bastante sencillo contraejemplo, pero he tratado de buscar, como traté de demostrar que $H$ es normal, inútilmente, así que estaba esperando que alguien aquí tal vez podría darle una oportunidad más-o-menos de la parte superior de su cabeza.

$H$ es claramente $G$-invariante, por lo que si hay es un contraejemplo, no debe ser uno donde el $G$ es el estabilizador de $\{H\}$ en $\operatorname{Aut}(N)$. $H$ es también una especie de "inclinado normal": para cualquier $h\in H$ y cada una de las $n\in N$, hay algunos $g\in G$ tal que $nh(g\cdot n^{-1})\in H$ (un contraejemplo debe tener $G$ actuando trivial en $H\backslash N$).

Edit: estoy pensando que debe haber un contraejemplo a $N$ isomorfo al grupo libre de countably infinito rango y $G$ isomorfo a ${\bf Z}$, actuando en $N$ por permuting los generadores. No estoy seguro de que a pesar de...

Answer 1

Como se explicó, en su pregunta al grupo $H$ $G$- invariante, entonces, la pregunta es si $H$ es normal en $N$. No hay ninguna razón por $H$ debería ser normal. El más simple contraejemplo es tomar $N=\mathrm{Sym}_3$, el grupo simétrico de a $3$ cartas (más pequeño no abelian grupo), y elija $H\subset N$ a un subgrupo de orden $2$ generado por una involución $a$, que ciertamente no es normal.

Con el fin de encontrar una extensión de $N$, elegimos $N\rtimes H$ ($G=H$ en su notación), y tomar la acción natural de la $H$ $N$ por conjugación. Después elegimos $\Gamma$ a ser el subgrupo de $N\rtimes H$ generado por $(a,a)$. El grupo $\Gamma$ orden $2$ y satisface $\pi_N(\Gamma)=H$. Queda por demostrar que $\Gamma$ es normal en $N\rtimes H$.

Para cada elemento $n\in N$ hemos $$(a,a)(n,1)=(a \cdot (ana^{-1}),a)=(na,a)=(n,1)\cdot (a,a).$$ Ya que cada elemento de a $N\rtimes H$ es generado por $N$$\Gamma$, el grupo de $\Gamma$ es normal en $N\rtimes H$.