El término no existe.

Question

Puede alguien explicar, en términos sencillos, ¿por qué el siguiente límite no existe?

$$\lim \limits_{x\to0}\sin\left(\left|\frac{1}{x}\right|\right)$$

La función es par, entonces la mano izquierda límite debe ser igual a la de la mano derecha límite. ¿Por qué este límite no existe?

Answer 1

La función es, de hecho, incluso, como veremos, esto no prueba la existencia del límite.

Suponga que el límite existe.

$$ \lim_{x\to 0^+} \sin\left(\frac1x \right) $$

Que es el mismo que el de su límite debido a la izquierda del límite y de la mano derecha el límite será igual (si el límite existe). Entonces a partir de la $x > 0$, he quitado el valor absoluto de firmar.

$$ \lim_{u\to\infty} \sin u $$

El uso de $u = 1/x$, podemos ver que el límite no existe.

Answer 2

Considere las siguientes dos secuencias que ambos convergen a $0$: $$ x_n:=\frac{1}{2n\pi}\qquad\text{y}\qquad y_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}. $$ Si $f(x):=\sin(\lvert\frac{1}{x}\rvert)$, luego tenemos a $f(x_n)=\sin(2n\pi)=0$ todos los $n$, e $f(y_n)=\sin(\frac{\pi}{2}+2n\pi)=1$ todos los $n$. Así, usted tiene (muy) diferentes valores en cualquier arbitrariamente pequeño barrio de 0.