Encuentra el área encerrada por el bucle $r=2(1-\sin\theta)\sqrt{\cos\theta}$

Question

El diagrama muestra un esquema del bucle cuya ecuación polar es

$$r=2(1-\sin\theta),\qquad -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$$

a)Demuestra que el área encerrada por el bucle es 16/3.

b)Demuestra que la línea inicial divide el área encerrada por el bucle en la proporción 1:7.

Answer 1

Desgranando el comentario de Aneesh: $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}r^2d\theta=-2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\sin\theta\right)^2\,\overbrace{d(1-\sin\theta)}^{-\cos\theta}=\left.-\frac{2}{3}\left(1-\sin\theta\right)^3\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=$$ $$=-\frac{2}{3}\left[(1-1)^3-(1+1)^3\right]=\frac{16}{3}$$

Answer 2

Si quieres los detalles aquí los tienes. La zona del bucle tiene dos partes $ I_1 $ y $I_2$ donde. $$\int_{-\pi/2}^{0}\frac{1}{2}r^2d\theta \int_{0}^{+\pi/2}\frac{1}{2}r^2d\theta= I_1+I_2 $$ Ahora $$I1=\int_{-\pi/2}^{0}\frac{1}{2}r^2d\theta=\int_{-\pi/2}^{0}2(1-\sin\theta)^2\cos\theta d\theta$$ . Suponiendo que $x=\sin\theta$ y observando $dx=\cos\theta d\theta$ tenemos $$ I_1=\int_{-1}^{0}2(1-x)^2 dx=14/3$$ Asimismo, $$I_2=\int_{0}^{+1}2(1-x)^2 dx=2/3$$ Demostrando que $I_1+I_2=16/3$ y $I2/I1=1:7$