En un espacio métrico tenemos $B(x,r) = B(y, s)$, es necesario que el $x = y$ y $r = s$??

Question

¿Si en un espacio métrico tenemos $B(x,r) = B(y, s)$, es necesario que el $x = y$ y $r = s$?

Creo que el centro de las bolas es decir $x$ y $y$ deben ser el mismos pero la radio $r$ $s$ puede no ser el mismo... y luego también las bolas pueden ser el mismas.

Por ejemplo en el espacio métrico discreto $B(x,1/2)$ y $B(x, 3/4)$ son los mismos!!!!!!

¿Estoy correcto?

Answer 1

En $\mathbf{Z}$ con el clásico (discreta) de la topología, cualquier bola de radio $<1$ es igual a su centro, por lo que su derecho. Pero en el $p$-ádico de campo $\mathbf{Q}_p$ por ejemplo, cualquier punto de bola (cerrado o no) es su centro, y las bolas son distintos, o uno en el otro. Pero es $\mathbf{R}$ con la habitual distancia, es necesario. Así que... depende ;-)

Consejo : Usted puede pensar en un espacio métrico como algo parecido a $\mathbf{R}$ cuando usted comienza con una topología de espacios métricos, todo el mundo hiciera esto, pero ser conscientes de que hay cosas como $\mathbf{Q}_p$ etc, pero vio solo ! ;-)

Answer 2

Como un contraejemplo, por qué el simple espacio métrico que consiste en solamente dos puntos $x$ y $y$ y $d(x,y)=1$. $B(x,2)=B(y,3)$, Porque ambas bolas son iguales a la totalidad del espacio ${x,y}$.