Simplificación de una expresión que contiene términos de $\operatorname{Li}_3(x)$

Question

En mis cálculos he terminado con este resultado: $$\mathcal{K}=78\operatorname{Li}_3\left(\frac13\right)+15\operatorname{Li}_3\left(\frac23\right)-64\operatorname{Li}_3\left(\frac15\right)-102 \operatorname{Li}_3\left(\frac25\right)+126\operatorname{Li}_3\left(\frac35\right)\\+12\operatorname{Li}_3\left(\frac45\right)-89\operatorname{Li}_3\left(\frac16\right)-152\operatorname{Li}_3\left(\frac56\right)+63\operatorname{Li}_3\left(\frac38\right)+76\operatorname{Li}_3\left(\frac58\right).$$ Me pregunto si es posible simplificar esta expresión, de alguna manera, por ejemplo, combinar algunos trilogarithm términos para expresar el uso de logaritmos, o al menos reducir el número de términos?

Traté de aplicar las identidades dado en MathWorld y Wolfram Funciones, pero no podía hacer que el global de la expresión más simple. Mathematica no podría simplificar.

Answer 1

Sorprendentemente, $\mathcal K$ puede expresarse en términos elementales: $$\begin{align}\mathcal K=\,&\frac{1756}3\ln^3(2)-\frac{74}3\ln^3(3)-\frac{14}3\ln^3(5)+76\ln^2(3)\ln(5)\\&-2\ln^2(2)\Big(202\ln(3)+133\ln(5)\Big)+3\ln^2(5)\Big(13\ln(2)-21\ln(3)\Big)\\&+2\ln(2)\ln(3)\Big(139\ln(5)-64\ln(3)\Big)-\frac{2\pi^2}3\Big(22\ln(2)-50\ln(3)+25\ln(5)\Big)\end{align}$ $

Answer 2

Demasiado largo para un comentario, pero una cosa relacionada, muy lejos de la solución.

$$\operatorname{Li}_3\left(\frac{3}{8}\right)+\operatorname{Li}_3\left(\frac{5}{8}\right)-\operatorname{Li}_3\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{1}{6} \ln^3\left(\frac{5}{8}\right)-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{3}{8}\right)\ln^2\left(\frac{5}{8}\right) + \frac{\pi^2}{6}\ln\left(\frac{5}{8}\right) + \zeta(3) - \frac{1}{4} \operatorname{Li}_3\left(\frac{9}{25}\right).$$

Conseguirlo mediante el uso de esta identidad para $z:=3/8$.

Un otro $z:=1/6$ con la misma identidad.

$$\operatorname{Li}_3\left(\frac{1}{6}\right)+\operatorname{Li}_3\left(\frac{5}{6}\right)-\operatorname{Li}_3\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{6} \ln^3\left(\frac{5}{6}\right)-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{6}\right)\ln^2\left(\frac{5}{6}\right) + \frac{\pi^2}{6}\ln\left(\frac{5}{6}\right) + \zeta(3) - \frac{1}{4} \operatorname{Li}_3\left(\frac{1}{25}\right).$$

Answer 3

$\def\tfrac#1#2{\textstyle\frac{#1}{#2}}$Me encontrado (numéricamente, usando el PSLQ algoritmo) sólo cinco de fuga racional de las relaciones entre los quince trilogarithms $$ L(\tfrac uv) = \mathrm{Li}_3(\tfrac uv), \qquad 0<u<v,\quad v\in\{2,3,4,5,6,8\}.$$ El tres primeros son bien conocidos: $$ \begin{eqnarray} 0 &=& - L(\tfrac12) + \tfrac78\zeta (3)-\tfrac{1}{2} \zeta (2) \log2+\tfrac16\log^32\\ 0 &=& 6 L(\tfrac{3}{4})+12 L(\tfrac{1}{3})+6 L(\tfrac{1}{4}) \\&&-19 \zeta (3)+12 \zeta (2) \log2-2 \log^33-16 \log^32+12 \log^22 \log3\\ 0 &=&-24 L(\tfrac{2}{3})-24 L(\tfrac{1}{3})-6 L(\tfrac{1}{4})\\&&+45 \zeta (3)-24 \zeta (2) \log3+12 \zeta (2) \log2+8 \log^33+8 \log^32-12 \log2 \log^23 \end{eqnarray} $$ Estos dos, creo, no podría ser: $$\begin{eqnarray} 0&=& 12 L(\tfrac{4}{5})-42 L(\tfrac{2}{3})+12 L(\tfrac{3}{5})+12 L(\tfrac{2}{5})+6 L(\tfrac{3}{8})-36 L(\tfrac{1}{3})+12 L(\tfrac{1}{5})+6 L(\tfrac{1}{6}) \\&&+19 \zeta (3)+24 \zeta (2) \log^25-48 \zeta (2) \log3+12 \zeta (2) \log2-8 \log^35+12 \log^33-28 \log^32+6 \log3 \log^25+18 \log2 \log^25-24 \log2 \log^23+24 \log^22 \log3-12 \log2 \log3 \log^25 \\0&=& 48 L(\tfrac{5}{6})+36 L(\tfrac{4}{5})-144 L(\tfrac{2}{3})-24 L(\tfrac{5}{8})+72 L(\tfrac{2}{5})-144 L(\tfrac{1}{3})+60 L(\tfrac{1}{5})+48 L(\tfrac{1}{6}) \\&&+63 \zeta (3)+48 \zeta (2) \log^25-96 \zeta (2) \log3+12 \zeta (2) \log2-28 \log^35+32 \log^33+92 \log^32+72 \log2 \log^25+24 \log^23 \log^25-84 \log^22 \log^25-120 \log2 \log^23-48 \log^22 \log3+48 \log2 \log3 \log^25 \end{eqnarray}$$

Una combinación lineal $$0=-\tfrac{21}{2}\mathrm{I}+\tfrac{19}{6}\mathrm{II}$$ de las dos últimas relaciones sólo pasa a eliminar a todos los trilogarithm términos de su expresión, dando el siguiente expresión igual a la tuya: $$ -100 \zeta (2) \log^25+200 \zeta (2) \log3-88 \zeta (2) \log 2-\tfrac{14}{3} \log^35-\tfrac{74}{3} \log^33\\+\tfrac{1756}{3} \log^32-63 \log3 \log^25 +39 \log 2 \log^25+76 \log^23 \log^25\\desde -266 \log^22 \log^25-128 \log 2 \log^23-404 \log^22 \log3+278 \log 2 \log3 \log^25 $$

Aquí están las identidades en un equipo más legible:

{{-6, 6, -1, 1, -12, 6, 3, 3}.{Log[2]*Log[2]*Log[2], Log[2]*Log[2]*Log[3], Log[3]*Log[3]*Log[3], Zeta[3], PolyLog[3, 1/2], PolyLog[3, 1/3], PolyLog[3, 1/4], PolyLog[3, 3/4]}, {2, -6, 4, 12, -12, 12, 12, -12, -12, -3}.{Log[2]*Log[2]*Log[2], Log[2]*Log[3]*Log[3], Log[3]*Log[3]*Log[3], Zeta[2]*Log[2], Zeta[2]*Log[3], Zeta[3], PolyLog[3, 1/2], PolyLog[3, 1/3], PolyLog[3, 2/3], PolyLog[3, 1/4]}, {-28, 24, -24, -12, 18, 12, 6, -8, 12, -48, 24, 19, -36, -42, 12, 12, 12, 12, 6, 6}.{Log[2]*Log[2]*Log[2], Log[2]*Log[2]*Log[3], Log[2]*Log[3]*Log[3], Log[2]*Log[3]*Log[5], Log[2]*Log[5]*Log[5], Log[3]*Log[3]*Log[3], Log[3]*Log[5]*Log[5], Log[5]*Log[5]*Log[5], Zeta[2]*Log[2], Zeta[2]*Log[3], Zeta[2]*Log[5], Zeta[3], PolyLog[3, 1/3], PolyLog[3, 2/3], PolyLog[3, 1/5], PolyLog[3, 2/5], PolyLog[3, 3/5], PolyLog[3, 4/5], PolyLog[3, 1/6], PolyLog[3, 3/8]}, {92, -48, -84, -120, 48, 72, 32, 24, -28, 12, -96, 48, 63, -144, -144, 60, 72, 36, 48, 48, -24}.{Log[2]*Log[2]*Log[2], Log[2]*Log[2]*Log[3], Log[2]*Log[2]*Log[5], Log[2]*Log[3]*Log[3], Log[2]*Log[3]*Log[5], Log[2]*Log[5]*Log[5], Log[3]*Log[3]*Log[3], Log[3]*Log[3]*Log[5], Log[5]*Log[5]*Log[5], Zeta[2]*Log[2], Zeta[2]*Log[3], Zeta[2]*Log[5], Zeta[3], PolyLog[3, 1/3], PolyLog[3, 2/3], PolyLog[3, 1/5], PolyLog[3, 2/5], PolyLog[3, 4/5], PolyLog[3, 1/6], PolyLog[3, 5/6], PolyLog[3, 5/8]}}

y aquí es la expresión final:

{1756, -1212, -798, -384, 834, 117, -74, 228, -189, -14, -264, 600, -300}.{Log[2]*Log[2]*Log[2], Log[2]*Log[2]*Log[3],Log[2]*Log[2]*Log[5], Log[2]*Log[3]*Log[3], Log[2]*Log[3]*Log[5], Log[2]*Log[5]*Log[5], Log[3]*Log[3]*Log[3], Log[3]*Log[3]*Log[5], Log[3]*Log[5]*Log[5], Log[5]*Log[5]*Log[5], Log[2]*Zeta[2], Log[3]*Zeta[2], Log[5]*Zeta[2]}/(3)