Puntos del enrejado de órbita hacia adelante de $z+z^{-1}$ son finitos.

Question

Que $f(z) = z+\frac{1}{z}$. Demostrar que para cualquier número racional de cero $x$, el sistema

$${f^n(x)}_{n\geq 0} \cap \mathbb{Z}$$

es finito. ¿Que $x$ es este conjunto mayor y cuál es su cardinalidad?

Encontré que podemos suponer sin pérdida de generalidad que $x$ es un número entero positivo, pero parece que no puedo obtener otras ideas sobre cómo enfocar el problema. ¡Cualquier ayuda sería genial!

Answer 1

Supongamos que $z = a/b > 0$ es una fracción reducida (decir $a,b>0$). Entonces $f(z) = \frac{a^2 + b^2}{ab} > 0$ es también una fracción reducida. De esto su reclamo sigue: observar que $a/b$, siendo una fracción reducida, es un número entero único $b = 1$. Así, la iteración, el denominador será mayor que $1$ y $f^n(z)$ no será un número entero. Si $z = 1$% y $f(z) = 2$, $f^2(z) = 5/2$y así sucesivamente. Este es el número posible más largo (2) de enteros posible.

Answer 2

Sólo para la integridad, voy a hacer la reducción de los enteros positivos caso. Aquellos interesados en la reducción, pueden saltar a por debajo de la línea.

Primero nos tenga en cuenta que la intersección de conjunto es discreto, porque $\Bbb Z$ es. De segundo tomamos nota de que la verdadera función de $f(x)=x+x^{-1}$ ha derivado

$$f'(x)=1-x^{-2}<1$$

por lo tanto los puntos fijos en $\pm 1 $ son atractores en los barrios alrededor de ellos, y por el positivo/negativo de la simetría, y el hecho de que la elección inicial $z_0$ $|z_0|<1$ produce de inmediato un iterar $z_1$ tal que $|z_1|>1$ podemos asumir nuestra opción inicial es $M\ge c>1$, de hecho es fácil ver que podemos tomar $c=\sqrt{2}$.

En este caso, podemos asumir nuestra primera opción es un entero, porque si la secuencia no llega a un número entero, ciertamente tiene sólo un número finito de respuestas. Juntos, esto se reduce a $M\ge 2$ inicial, entero elección. Si prefiere un contacto más directo prueba de esto, también se puede simplemente decir que si usted fuera la mala suerte de coger $1$ primero, y luego recorrer el mapa de da $2$, lo que flota su barco: he intentado utilizar como parte de un enfoque de los sistemas dinámicos como sea posible, ya que es la única etiqueta en la pregunta.

---

Ahora, ya hay un primer $p|M$, se nota que el $p$-ádico de valoración de $M$$|M|_p<1$. Pero, a continuación,$|f(M)|_p=|M+M^{-1}|_p$. Por la fuerte desigualdad de triángulo, debe ser que

$$|f(M)|_p=\max\{|M|_p, |M^{-1}|_p\}=|M^{-1}|_p>1.$$

Pero, a continuación, $|f^k(f(M))|_p=|M^{-1}|_p>1$ nuevo por la fuerte desigualdad de triángulo. En particular, la reducción de la fracción de $f^n(M)$ siempre tiene un $p$ dividiendo el denominador, por lo tanto es no un entero.

Esto implica que, una vez que tenemos un número entero mayor que $1$ en la órbita (o menos de $-1$ por simetría), nunca se golpea a otro número entero de nuevo. Por lo tanto la única manera de tener más de un número entero en nuestra secuencia es que si tenemos una que no es divisible por ningún primo, es decir,$\pm 1$. es fácil ver que $f(\pm 1)=\pm 2$, por lo tanto el más grande de órbitas tienen el tamaño de $2$ e se $\{\pm 1,\pm 2\}$.