género aritmético y geométrico de una curva plana reducible

Question

Si $C$ es una curva plana irreducible tenemos la conocida fórmula que relaciona la airmética (obtenida mediante la fórmula grado-genus) y el género geométrico

$$\frac{(d-1)(d-2)}{2} - \sum \frac{r(r-1)}{2},$$

donde $d$ es el grado de la curva y la suma se toma sobre las singularidades ordinarias con multiplicidad $r$ . Pero, ¿qué ocurre si la curva es reducible? ¿Hay que tener en cuenta también el número de componentes?

Answer 1

El género aritmético de una curva en una superficie viene dado por $$-2+2g_a=C(C+K),$$ donde $K$ es el divisor canónico.

En el caso de que la superficie $\mathbb{P}^2$ y la curva tiene grado $d$ tenemos $C=dL$ y $K=-3L$ donde $L$ es la clase de una línea. Por lo tanto $-2+2g_a=d(d-3)$ lo que arroja $$g_a=\frac{(d-1)(d-2)}{2}$$ como sabes.

Sin embargo, el género geométrico de una curva irreducible es $g_a-\sum m_i(m_i-1)/2$ donde $m_i$ es la multiplicidad de los puntos, incluidos todos los puntos infinitamente cercanos. Esto se puede comprobar ampliando los puntos y comprobando que el género aritmético disminuye en $m_i(m_i-1)/2$ cuando explotas un punto de multiplicidad $m_i$ .

Ahora, si tienes una curva reducible $C=C_1+C_2$ se puede calcular el género aritmético de $C$ mediante la fórmula $-2+2g_a(C)=C(C+K)$ (que es básicamente una definición):

$$\begin{array}{rcl} -2+2g_a(C)&=&C(C+K)\\ &=&(C_1+C_2)(C_1+C_2+K)\\ &=&C_1(C_1+K)+C_2(C_2+K)+2C_1C_2\\ &=&(-2+2g_a(C_1))+(-2+2g_a(C_2))+2C_1\cdot C_2\end{array}$$

Por lo tanto $$g_a(C)=g_a(C_1)+g_a(C_2)+C_1\cdot C_2-1.$$

Procediendo por inducción, se puede hacer el caso con más componentes.