¿Cuál es el límite de una función raíz cuadrada?

Question

$$\lim_{x \to \sqrt{3}^{-}} \sqrt{x^2-3}$$

¿Cuál es la respuesta a este límite? Hay dos hipótesis:

$0$ e indefinido.

Indefinido porque la raíz cuadrada de un número negativo es indefinida, $0$ porque si insertamos $\sqrt{3}$, obtenemos $0$; No estoy muy seguro. Por favor ayúdame

Editar:

¿Por qué calculamos este límite?

Según mi profesor, un límite de función en sqrt(3) existe si el límite en sqrt(3)- y el límite en sqrt(3)+ existen y son iguales. Por eso intentamos encontrarlo.

¿Es correcto?

Answer 1

Una presunción de la definición usual de límite es que el objeto bajo consideración es una función. Note que $\sqrt{x^{2}-3}$ ni siquiera está definido si $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$, por lo que no es legítimo estudiar el límite $\lim_{x \to \sqrt{3}-}\sqrt{x^{2}-3}$. Sin embargo, el límite por la derecha aquí existe y $=0$. ¿Cuál es el dominio de la función $x \mapsto \sqrt{x^{2}-3}$?

Answer 2

Lo que dijo tu profesora está mal.

Los límites se calculan dentro del dominio. Para esta función, tanto los límites ordinarios como los de la mano derecha existen y son ambos $0$ (al sustituir $\sqrt3$ y porque la función es continua). El límite de la mano izquierda es indefinido, pero esto no importa.

La situación sería diferente con un dominio que se extiende en los negativos sin límite de la mano izquierda, como

$$\begin{cases}x<0\to\sin\dfrac1x,\\x\ge0\to\sqrt x\end{cases}$$

(sin límite de la mano izquierda y sin límite ordinario pero con límite de la mano derecha)

o un dominio que se extiende en los negativos y con un límite de la mano izquierda diferente como

$$\begin{cases}x<0\to-1,\\x\ge0\to\sqrt x\end{cases}$$

(tanto límite de la mano izquierda y de la mano derecha pero sin límite ordinario).

Answer 3

La función $f (x) = \sqrt{x^2 - 3}$ está definida en $D = ({-\infty}, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, {+\infty})$. Para calcular el límite de $f$ a medida que $x$ se aproxima a $\sqrt{3}$, debe calcular $f (x)$ para valores de $x$ que estén arbitrariamente cerca de $\sqrt{3}$. Y para calcular $f (x)$ para cualquier valor de $x$, necesita que $x$ esté en el dominio de $f.

Entonces, el límite $\lim_{x \to \sqrt{3}} f (x)$ debe tomarse para $x > \sqrt{3}$, y por lo tanto será $0$. Este es un ejemplo en el que un límite derecho (aproximándose desde valores estrictamente superiores) existe, pero no existe un límite izquierdo (aproximándose desde valores estrictamente inferiores).

Answer 4

Hay algunas cosas que considerar:

• 0 porque si enchufamos sqrt(3), obtenemos 0

  Esto es falso. El valor de una función en el punto de límite no importa para el valor del límite. Enchufar un valor es un truco que a menudo funciona, pero solo funciona si la función es continua en el punto de límite (en su caso, solo es necesaria la continuidad por la izquierda, ya que tenemos un límite por la izquierda). Dado que la función no está definida a la izquierda de $\sqrt{3}$, no es continua por la izquierda en $\sqrt{3}$.

• Indeterminado porque la raíz cuadrada de un número negativo es indefinida

  El límite de valores indefinidos es nuevamente indefinido. Esto es cierto.

• Hay una cosa más que considerar: Números complejos. La idea de los números complejos es que la raíz cuadrada de un número negativo está definida. Cuando definimos $\sqrt{x^2-3}$ como una función de los números reales a los números complejos ($\mathbb{R} \to \mathbb{C}$) o como una función de los números complejos a los números complejos ($\mathbb{C} \to \mathbb{C}$), está definida y continua en $\sqrt{3}$. Entonces, esto significa que enchufar $\sqrt{3}$ está permitido. Por lo tanto, el límite es 0.

Si defines $\sqrt{x^2-3}$ como una función de números complejos, entonces el límite es 0. Por eso Wolfram Alpha dice que el límite es 0.

Si defines $\sqrt{x^2-3}$ como una función de números reales, entonces el límite es indefinido.