¿Cuál es el límite de una función de raíz cuadrada?

Question

$$\lim_{x \to \sqrt{3}^{-}} \sqrt{x^2-3}$$

¿Cuál es la respuesta a este límite? Hay dos hipótesis:

$0$ e indefinido.

Indefinido porque la raíz cuadrada de un número negativo es indefinida, $0$ porque si sustituimos $\sqrt{3}$, obtenemos $0$; no estoy tan seguro. Por favor ayuda

Edición:

¿Por qué calculamos este límite?

Según mi profesor, el límite de una función en sqrt(3) existe si el límite en sqrt(3)- y el límite en sqrt(3)+ existen y son iguales. Por eso intentamos encontrarlo.

¿Es eso correcto?

Answer 1

Una presunción de la definición usual de límite es que el objeto bajo consideración es una función. Nótese que $\sqrt{x^{2}-3}$ ni siquiera está definido si $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$, por lo que no es legítimo estudiar el límite $\lim_{x \to \sqrt{3}-} \sqrt{x^{2}-3}$. Sin embargo, el límite por la derecha aquí existe y es $=0$. ¿Cuál es el dominio de la función $x \mapsto \sqrt{x^{2}-3}$?

Answer 2

Lo que dijo tu profesor está equivocado.

Los límites se computan dentro del dominio. Para esta función, tanto los límites ordinarios como los límites de la mano derecha existen y ambos son $0$ (al sustituir $\sqrt3$ y porque la función es continua). El límite de la mano izquierda es indefinido, pero esto no importa.

La situación sería diferente con un dominio que se extiende en los negativos sin límite de la mano izquierda, como

$$\begin{cases}x<0\to\sin\dfrac1x,\\x\ge0\to\sqrt x\end{cases}$$

(sin límite de la mano izquierda ni límite ordinario pero sí un límite de la mano derecha)

o un dominio que se extiende en los negativos y con un límite de la mano izquierda diferente, como

$$\begin{cases}x<0\to-1,\\x\ge0\to\sqrt x\end{cases}$$

(ambos límites de la mano izquierda y derecha pero sin límite ordinario).

Answer 3

La función $f (x) = \sqrt{x^2 - 3}$ está definida en $D = ({-\infty}, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, {+\infty})$. Para calcular el límite de $f$ cuando $x$ se acerca a $\sqrt{3}$, necesitas calcular $f (x)$ para valores de $x$ que estén arbitrariamente cerca de $\sqrt{3}$. Y para calcular $f (x)$ para cualquier valor de $x$, necesitas que $x$ esté en el dominio de $f$.

Por lo tanto, el límite $\lim_{x \to \sqrt{3}} f (x)$ debe tomarse para $x > \sqrt{3}$, y será por lo tanto $0$. Este es un ejemplo donde existe un límite derecho (aproximándose desde valores estrictamente más altos), pero no existe un límite izquierdo (aproximándose desde valores estrictamente más bajos).

Answer 4

Hay algunas cosas que considerar:

• 0 porque si enchufamos sqrt(3), obtenemos 0

  Esto es falso. El valor de una función en el punto límite no importa para el valor del límite. Enchufar un valor es un truco que a menudo funciona, pero solo funciona si la función es continua en el punto límite (en tu caso, solo la continuidad por la izquierda es necesaria, ya que tenemos un límite desde la izquierda). Dado que la función no está definida a la izquierda de $\sqrt{3}$, no es continua por la izquierda en $\sqrt{3}$.

• Indefinido porque la raíz cuadrada de un número negativo es indefinida

  El límite de valores indefinidos es nuevamente indefinido. Esto es cierto.

• Hay una cosa más que considerar: Números complejos. La idea de los números complejos es que la raíz cuadrada de un número negativo está definida. Cuando definimos $\sqrt{x^2-3}$ como una función de los números reales a los números complejos ($\mathbb{R} \to \mathbb{C}$) o como una función de los números complejos a los números complejos ($\mathbb{C} \to \mathbb{C}$), está definida y es continua en $\sqrt{3}$. Por lo tanto, esto significa que enchufar $\sqrt{3}$ está permitido. Entonces, el límite es 0.

Si defines $\sqrt{x^2-3}$ como una función hacia los números complejos, entonces el límite es 0. Por eso Wolfram Alpha dice que el límite es 0.

Si defines $\sqrt{x^2-3}$ como una función hacia los números reales, entonces el límite es indefinido.