Encontrar elementos explícitos en $\text{SL}(3,\mathbb{R})/\text{SO}(3)$ cuyo estabilizador simultánea en $\text{SL}(3,\mathbb{R})$ es la identidad

Question

Considere la posibilidad de la acción de la $\text{SL}(3,\mathbb{R})$ $M=\text{SL}(3,\mathbb{R})/\text{SO}(3)$ (a la izquierda a través de la multiplicación).

Quiero encontrar explícitamente un número mínimo de elementos $s_1,\ldots,s_k \in M$ con la propiedad de que la simultánea estabilizador de todas las $s_i$ $\text{SL}(3,\mathbb{R})$ es la matriz identidad.

Robert Bryant comentó aquí que, probablemente, $k=3$ es el número mínimo, pero no estoy seguro de esto.

(Estoy interesado en los representantes de la $A_i$ s.t $s_i=A_i\text{SO}(3)$. De hecho, yo sólo estoy interesado en $A_iA_i^T$ ya que esta es la información necesaria para la construcción de una izquierda invariantes métricos en $\text{SL}(3,\mathbb{R})$- contexto se proporciona a continuación si usted está interesado).

Motivación:

Estoy tratando de realizar concretamente Robert idea de construir una izquierda invariantes métricos en $\text{SL}(n,\mathbb{R})$.

El más pequeño no trivial de la dimensión de es $n=2$. Sin embargo, como se mencionó por Robert, debemos incrustar $\text{SL}(2,\mathbb{R})$ $\text{SL}(3,\mathbb{R})$ por su enfoque de trabajo (desde $-I$ actos trivialmente en $M$).

La razón por la que estoy interesado en la izquierda métricas invariantes en $\text{SL}(n,\mathbb{R})$, es que tales indicadores pueden ser utilizados para construir la izquierda métricas invariantes en $\text{GL}(n,\mathbb{R})$, como se explica en esta pregunta sin respuesta.

Answer 1

Usted puede (equivariantly) identificar el cociente $SL(3,R)/SO(3)$ con el espacio de positivo-definida de formas cuadráticas en 3 variables con determinante (de las de la matriz simétrica asociada) igual a $1$. La identificación proviene del hecho de que $SL(3,R)$ actúa sobre la formas cuadráticas a través de la norma de cambio de las variables, de modo que el estabilizador de la distancia Euclídea forma cuadrática es $SO(3)$. Más explícitamente, una matriz de $A\in SL(3, R)$ corresponde a la forma cuadrática $q_M$ asociado con la matriz simétrica $M=A^TA$. (El mismo funciona en todas las dimensiones).

Con esta identificación, usted puede tomar $q_1=x^2+y^2+z^2$, $q_2=2x^2 + y^2 + \frac{1}{2} z^2$ y para $q_3$ tomar la forma cuadrática $$ q_3=x^2 + 2xy + 2y^2 + 2yz + 2z^2, $$ correspondiente a la matriz $$ A= \left[\begin{array}{ccc} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{array}\right]. $$
La razón por la que esto funciona es que el estabilizador de $q_1$$SO(3)$; el común estabilizador de $q_1, q_2$ es el subgrupo de la diagonal de las matrices con $\pm 1$ en la diagonal y determinante $1$. Ninguno de los últimos puede estabilizar $q_3$, excepto para la matriz de identidad.

De esto usted puede averiguar cómo funcionan las cosas de $SL(n,R)$ (de nuevo, de 3 formas cuadráticas será suficiente, uno de los cuales es la Euclídea, uno es diagonal con distintas diagonal entradas y la última corresponde a la parte superior triangular de la banda de la matriz con $1$'s de la diagonal, y justo por encima de la diagonal).

Answer 2

Este es un intento de escribir una respuesta detallada basada en la propuesta de Moishe Cohen:

Queremos encontrar a $3$ matrices $A_i \in \text{SL}(3,\mathbb{R})$, tal que para cualquier $B \in \text{SL}(3,\mathbb{R})$,

si $BA_i\text{SO}(3)=A_i\text{SO}(3)$$i=1,2,3$$B=I$.

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Tenga en cuenta que $BA_i\text{SO}(3)=A_i\text{SO}(3) \iff BA_iA_i^TB^T=A_iA_i^T$.

Denotar $\tilde A_i=A_iA_i^T$, Moishe la sugerencia fue a tomar:

$\tilde A_1=I$,

$\tilde A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix},$

y para elegir a $\tilde A_3$ a ser simétrica positiva definida la matriz, con distintos valores y la unidad de determinante, cuyos tres vectores propios son todos diferentes de la norma base.

Empecé de a $\tilde A_2$, que rotó en el $[xy]$ plano en $45^0$, y, a continuación, en la $[yz]$ plano en $30^0$.

Tengo

$\tilde A_3 = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 6 & \sqrt{3} & 1 \\\ \sqrt{3} & 5 & \sqrt{3} \\ 1 & \sqrt{3} & 3 \end{pmatrix}$.

(Un cálculo muestra que los autovalores de a$\tilde A_3$$2,1,\frac{1}{2}$, con los correspondientes autovalores $(2,\sqrt 3,1),(-2,\sqrt 3,1),(0,-\frac{1}{\sqrt{3}},1)$).

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La pregunta es ¿a ver que $\, B\tilde A_iB^T=\tilde A_i \Rightarrow B=I$:

Conectar $\tilde A_1=I$, obtenemos que $B \in \text{O}(3)$, y desde $B \in \text{SL}(3,\mathbb{R})$, se deduce que el $B \in \text{SO}(3) $.

Es allí una manera elegante de ver por qué la $B \in \text{SO}(3) $ además de las otras dos condiciones ( $i=2,3$ ) implica que $B$ es la matriz identidad?

Podemos hacerlo sin saber la forma explícita de $\tilde A_3$, pero sólo las propiedades mencionadas por Moishe, yo.e que tiene distintos valores propios y de la unidad de determinante, y todos sus vectores propios son diferentes de la estándar?