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Como usted ha notado, por $(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^n = a_0 + a_1x + \cdots + a_{4n}x^{4n}$, tenemos $$ a_i = a_{4n-i}\quad\text{para } 0 \leq i \leq 4n $$ Por lo que es suficiente para demostrar que $a_0 < a_1 < \cdots < a_{2n}$. Podemos demostrar por inducción a continuación.
Base. Para $n = 2$, tenemos $$ (1 + x + \cdots + x^4)^2 = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 4x^5 + 3x^6 + 2x^7 + x^8 $$ Por lo tanto $a_0 < a_1 < \cdots < a_4$.
De inducción. Supongamos por $n \geq 2$ hemos $$ (1 + x + \cdots + x^4)^n = a_0 + a_1x + \cdots + a_{4n}x^{4n} $$ con $a_0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_{2n}$ y $$ (1 + x + \cdots + x^4)^{n+1} = b_0 + b_1x + \cdots + b_{4n+4}x^{4n+4} $$ Nuestro objetivo es demostrar que $b_0 < b_1 < \cdots < b_{2n+2}$. Tenga en cuenta que $$ (1 + x + \cdots + x^4)^{n+1} = (1+x+\cdots + x^4)^n\cdot(1+x+\cdots +x^4) $$ Por lo tanto, \begin{align} b_i &= a_i + a_{i-1} + a_{i-2} + a_{i-3} + a_{i-4}\quad \text{for}\quad 4\leq i \leq 2n + 2\\ b_3 &= a_3 + a_2 + a_1 + a_0 \\ b_2 &= a_2 + a_1 + a_0 \\ b_1 &= a_1 + a_0 \\ b_0 &= a_0 \end{align} Fácil observar que $b_0 < b_1 < b_2 < b_3 < b_4$. Para $4 < i \leq 2n$, tenemos $$ b_{i} - b_{i-1} = a_i - a_{i-5} > 0 $$ por nuestra hipótesis de inducción. Por otra parte, hemos $$ b_{2n + 1} - b_{2n} = a_{2n+1} - a_{2n-4} = a_{2n-1} - a_{2n-4} > 0 $$ y $$ b_{2n + 2} - b_{2n+1} = a_{2n + 2} - a_{2n - 3} = a_{2n - 2} - a_{2n - 3} > 0 $$ Por lo tanto, $$ b_0 < b_1 < \cdots < b_{2n + 2} $$
Al $n = 496$, por nuestra prueba, $a_{992}$ es máxima.
Digamos que un grado $2n$ polinomio es (SID) (Simétrica Aumento-disminución) de la propiedad si la lista de sus coeficientes de $a_0, a_1... a_{2n}$ (considerados en el ascendente poder de lo indeterminado) es simétrica ($a_{2n-k}=a_k$) con la primera $n$ siendo ascendente, con un único máximo, entonces la última $n$ estrictamente decreciente.
La propiedad que usted está apuntando a es una simple consecuencia del siguiente lema:
Si $P(x)$ (SID), $Q(x)=P(x)*(1+x+x^2+x^3+x^4)$ (SID).
Un ejemplo: $P(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4)^2=1+2x+3x^2+4x^3+...$
es (SID) debido a que sus coeficientes de tener una tienda de campaña en forma de $(1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1)$.
a continuación, $Q(x)=P(x)*(1+x+x^2+x^3+x^4)=(1, 3, 6, 10, 15, 18, 19, 18, 15, 10, 6, 3, 1)$
es también (SID) (buscando un poco más de gauss).
Prueba: Debido a la simétrica de la propiedad, sólo tenemos que trabajar en la primera parte de los coeficientes, es decir, demostrar que la secuencia es ascendente y alcanza un máximo en la primera "mitad".
La fórmula general para los coeficientes $b_k$ $Q(x)$ es
$$b_k=a_k+a_{k-1}+a_{k-2}+a_{k-3}+a_{k-4}$$
Explicación : la primera coeficientes pueden ser considerados obeing la misma fórmula mediante la adición de una cierta cuatro ceros antes y cuatro ceros después de la lista de coeficientes de $a_k$ (lo que se llama "zero-padding").
Computación $b_{k+1}$ $b_k$ equivale a suprimir $a_{k-4}$ e introducir $a_{k+1}$, en otras palabras:
$$b_{k+1}=b_k+(a_{k+1}-a_{k-4})$$
Esta fórmula muestra claramente que $b_{k+1}>b_k$ es equivalente a $(a_{k+1}-a_{k-4})>0$, es decir, siempre que la máxima no ha sido alcanzado ; más precisamente,
si $k+1=n$, $a_{k+1}-a_{k-4}=a_{n}-a_{n-3}>0$
si $k+1=n+1$, $a_{k+1}-a_{k-4}=a_{n+1}-a_{n-2}>0$
si $k+1=n+2$, $a_{k+1}-a_{k-4}=a_{n+2}-a_{n-1}<0$
terminando el lema de la prueba.
Comentario : es como hacer un promedio en movimiento : la media móvil simétrica, primero subiendo, a continuación, descender de distribución tiene la misma propiedad.
El paso final es el uso del lexema en forma recurrente.
En términos probabilísticos, si tenemos una secuencia de yo.yo.d. variables aleatorias $X_i$ de manera tal que el PDF de $X_i$ es compatible en $[0,1]$ y simétrica alrededor de $\frac{1}{2}$, el PDF de $$ S_n=X_1+X_2+\ldots+X_n $$ se admite en $[0,n]$ y simétrica alrededor de $\frac{n}{2}$. Si $X_1$ es distribuido uniformemente y $n\geq 2$, el PDF de $S_n$ tiene un máximo en $\frac{n}{2}$. Por el Teorema del Límite Central / Berry Esseen teorema, si $n$ es un gran $S_n$ es bien aproximar por una variable aleatoria normal con media de $\frac{n}{2}$. A nosotros solo nos interesa el discreto analógica de este hecho.
