¿Cuáles son las coordenadas polares del origen?

Question

En coordenadas polares, el origen ha $r = 0$, pero $\theta$ no es única.

qué tipo de problemas de esta forma se crea, y cómo lo puedo resolver? Por ejemplo, supongamos que una hormiga está vagando alrededor de un avión. Su velocidad es

$$s = \sqrt{\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2}$$

pero si la hormiga se pasea por el origen de una cantidad como $\dot{\theta}$ es indefinido. En este caso particular, puedo lidiar con eso porque el límite

$$\lim_{r\to 0}\ r^2\dot{\theta}^2$$

está definido. Del mismo modo, si quiero encontrar un área de integración, yo tendría que mirar el Jacobiano

$$\left|\begin{array}{cc}\partial r / \partial x & \partial r / \partial y \\ \partial \theta / \partial x & \partial \theta / \partial y\end{array}\right|$$

que no está definido en el origen. De nuevo me puede conseguir alrededor de él. Si quiero que el área del círculo unidad, por ejemplo, puedo tomar

$$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\theta = 0}^{2\pi}\int_{r=\epsilon}^1 r\ \textrm{d}r\textrm{d}\theta$$

¿Cómo sé que siempre puedo evitar cosas como esta? En el caso de recibir algún otro sistema de coordenadas, ¿cómo puedo saber si los puntos sin únicas coordenadas que se me va a dar problemas?

Answer 1

Para integrales generalmente puede ignorar cosas como esta. Esto es porque integrales ignoran lo que está sucediendo en un conjunto de medida cero, tan largo como la parte de la cosa que está integrando sobre donde $r = 0$ tiene medida cero, simplemente puede ignorar esa parte. Por ejemplo, si usted está tratando de averiguar algo sobre una partícula con un integral, y el conjunto de esa partícula está en el origen tiene medida cero, estás bien.

Answer 2

Estás en lo correcto de que el Jacobiano de Cartesianas a coordenadas polares es singular en el origen. En la práctica lo que esto significa es que la transformación se pierde un grado de libertad en el origen. Puesto en términos simples, hay indicaciones en el que no se puede infinitesimalmente mover en el origen. Por ejemplo, si su estado es$r=0$$\theta = 0$, luego de una jugada en la $x$ dirección de $dx$ es alcanzado por $dr$ en coordenadas polares, sin embargo, un movimiento en el $y$ dirección de $dy$ requiere de un cambio de $dr$ $r$ dirección, pero requiere de un cambio de $\pi/2$ (finito) en el $\theta$ dirección. Por lo tanto el grado de libertad que se pierde en el $y$ dirección y sólo se mueve en el $x$ dirección son posibles. El mismo problema ocurre en el lat-long parametrización de la esfera en los polos Norte y Sur.

Answer 3

He aquí un problema que mis estudiantes en constante funcionamiento. Supongamos que se tienen las siguientes dos funciones de variable y se desea calcular sus límites en $(x,y)$ $\rightarrow (0,0)$

$f(x,y)$=${x^2-y^2}\over{{x^2-y^2}}$ y $g(x,y)$=$6x^3\over{\sqrt{x^2-y^2}}$

Ya que el límite está en el origen es una buena idea utilizar coordenadas polares desde $r$ se aproxima a 0 a lo largo de cualquier ruta de acceso al origen, a fin de $\theta$ puede aparentemente ser ignorado. Sin embargo, que es donde reside el problema. Para la segunda función, $g$, el límite existe desde el envío de $r$ a 0 se produce un límite de 0, independientemente del valor de $\theta$. Por otro lado, si usted intenta usar coordenadas polares para evaluar el límite de $f$ usted incorrectamente puede demostrar que este límite existe desde el envío de $r$ a 0 se produce límites diferentes, dependiendo del valor de $\theta$ (y muchos estudiantes ignorar $\theta$ ya que simplemente se centran en el hecho de que $r\rightarrow 0$).

Answer 4

Sí, el origen no está bien definido.

Es costumbre decir origen es (0,0) en analogía a coordenadas cartesianas.

Sin embargo debe tener en cuenta esto es una Convención y no utilizarla en un problema de "límites" (como en: sustituir 0,0 y obtener el límite) puesto que las funciones suelen ser discontinuos allí.