Diferentes definiciones de puntos P (ultrafilters)

Question

Recientemente he sido expuesto el concepto de P-Puntos. Tengo tres definiciones: Un no-director de ultrafilter $u$ es un P-Punto si:

1. Para cada secuencia $\left < A_n \right >_{n\in \omega}$ de los elementos de $u$ existe algún conjunto $B \in u$ que es casi contenidas en cada $A_n$. (Más común.)
2. Para cada $G_\delta$ que contiene $u$, $u$ es en el interior de la $G_\delta$. (Un poco hipster.)
3. Para cada función de $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ hay algo de $A\in u$ tal que $f| A$ es finito-a-uno o constante. (Papel específico).

¿Alguien sabe cómo demostrar que estas definiciones son equivalentes? O tal vez podría indicar donde algunas de las pruebas que puede ser?

Answer 1

Para ver que (1) es equivalente a (2), todo lo que realmente necesita saber es la siguiente traducción. Un conjunto abierto básico en $\beta\mathbb{N}$ con el % de forma $N_A = {v : A\in v}$, donde $A$ es un subconjunto de $\mathbb{N}$; y cuando $A \subseteq B$, $N_A\subseteq N_B$. Cuando $A$ es casi-contenida en $B$, entonces sólo podemos decir $$N_A\cap (\beta\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}) \subseteq N_B\cap (\beta\mathbb{N}\setminus\mathbb{N})$ $ pero ya que estamos tratando principalmente con ultrafilters no principales, la prueba aún funciona.

Me gusta la versión hipster. (Pero solo supe después ya era fresco).

Answer 2

Observar que $1$ es equivalente a

Para todos los partición de $\omega = \bigsqcup_{n \in \omega} A_n$$A_n \notin U$, existe un $X \in U$ tal que $|X \cap A_n| < \aleph_0$ todos los $n \in \omega$.

Para mostrar $(1) \Rightarrow (3)$. Deje $f : \omega \rightarrow \omega$. Si existe un $n$ tal que $f^{-1}(n) \in U$, $f \upharpoonright f^{-1}(n)$ es constante. Supongamos que no hay tal $n$ existen. Definir $A_n = f^{-1}(n)$. Por la versión de 1 anteriormente, no existe $A \in U$ tal que $A \cap A_n = A \cap f^{-1}(n)$ es finita para todas las $n$. Por lo tanto $f \upharpoonright A$ es finito a uno.

Para mostrar $(3) \Rightarrow (1)$. Supongamos $\omega = \bigsqcup A_n$ $A_n \notin U$ todos los $n \in \omega$. Definir $f(x) = n$ si y sólo si $x \in A_n$. Por (3), o hay un $A \in U$ tal que $f \upharpoonright A$ es constante o $f \upharpoonright A$ es finito a uno. El ex no puede ocurrir, porque esto implicaría $A \subseteq A_n$ algunos $n$, lo que implicaría $A_n \in U$. Contradicción. Por lo tanto $f \upharpoonright A$ es finito a uno. Esto significa $A \cap A_n$ es finita para todas las $n \in \omega$. (1) se ha verificado.