Cómo prueba que $\sum_{i=1}^{2^n} 1/i \ge 1+n/2$

Question

He tenido problemas tratando de demostrar que para cada $n\ge1$ % $ $$\sum_{i=1}^{2^n}\frac1i\ge 1+\frac n2$

¿Puede darme un Consejo sobre la prueba de inducción o Mostrar en detalle cómo puedo comprobarlo? Quisiera appreaciate cualquier ayuda. ¡Gracias!

Answer 1

O sin ninguna inducción explícita: la suma es $$1+\Bigl(\frac12\Bigr)+\Bigl(\frac13+\frac14\Bigr)+\Bigr(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\Bigr)+\cdots+\Bigl(\frac1{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac1{2^n}\Bigr)$ $ que es mayor que $$1+\Bigl(\frac12\Bigr)+\Bigl(\frac14+\frac14\Bigr)+\Bigr(\frac18+\frac18+\frac18+\frac18\Bigr)+\cdots+\Bigl(\frac1{2^n}+\cdots+\frac1{2^n}\Bigr)\ .$ $ ahora (pista) pensar cuidadosamente acerca de cuántos pares de soportes hay y cuántos términos hay dentro de cada par.

Answer 2

$$\sum{i=1}^{2^{k+1}}\frac{1}{i} = \sum{i=1}^{2^{k}}\frac{1}{i}+\sum{i=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{i} \ = \sum{i=1}^{2^{k}}\frac{1}{i}+\left(\frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^k+1} \ldots +\frac{1}{2^{k+1}-1}+ \frac{1}{2^{k+1}}\right) \ \geq \sum{i=1}^{2^{k}}\frac{1}{i}+\left(\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+1}} \ldots +\frac{1}{2^{k+1}}+ \frac{1}{2^{k+1}}\right)$$ The "greater than or equal to" is true because you are making the denominators larger. Next, you know you are adding up $ 2^k$ quantities of $\frac{1}{2^{k+1}}$ since $2^{k+1}-2^{k} = 2^k(2-1) = 2 ^ k $. Hence $% $ $\sum{i=1}^{2^{k}}\frac{1}{i}+\left(\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+1}} \ldots +\frac{1}{2^{k+1}}+ \frac{1}{2^{k+1}}\right) = \sum{i=1}^{2^{k}}\frac{1}{i}+2^k\left(\frac{1}{2^{k+1}}\right) \ = \sum{i=1}^{2^{k}}\frac{1}{i}+\frac{1}{2}$ahora aplicar la hipótesis de inducción y hacer algunos álgebra para obtener tu resultado!

Answer 3

$$A=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{2^n}=\\frac{1}{1}\+\frac{1}{2}\+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})\+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})\+...\+(\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+...+\frac{1}{2^n+2^n})$$now % ver

$$\frac{1}{1}\+\frac{1}{2}\+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})>(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})\+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})>(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8})\+...\+(\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+...+\frac{1}{2^n+2^n})>(\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}+....\frac{1}{2^{n+1}})$$so $$A>1+\frac{1}{2}+2\frac{1}{4}+4\frac{1}{8}+...\A>1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}....)\A>1+\frac{n}{2}$$