Acción de un grupo abelian finito de un conjunto finito

Question

Que $G$ sea un grupo finito abelian actuando sobre un conjunto finito $X$. Que $\mathcal{O}(x)$ ser la órbita de $x$: $$\mathcal{O}(x)={g.x\colon g\in G}.$ $ entonces obviamente $G$ actúa transitoriamente en $\mathcal{O}(x)$.

Pregunta: Contiene un subgrupo $G$ que actúa transitoriamente en $H$ $\mathcal{O}(x)$ $|H|=|\mathcal{O}(x)$?

Answer 1

Que $G = \mathbb Z/4\mathbb Z$ y que $X = {0,1}$. Ley que $G$ $X$ a través de la acción $$g\cdot x = g+x\pmod 2$ $

Entonces $G$ actúa transitoriamente en $X$. Sin embargo, el único subgrupo de $G$ $2$ de la orden es ${0,2 \pmod 4}$, que no actúe transitoriamente en $X$.