$\sum _{ i=0 }^{ 100 }{\binom{k}{i}}{\binom{M-k}{100-i}\frac{k-i}{M-100}}/{\binom{M}{100}}$
Escribió los primeros algunos términos, pero no pudo encontrar ningún patrón y cómo las condiciones del club. Ayuda.
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Aekansh Dixit
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Vamos a generalizar un poco por la introducción de índices: $$ \sum_i \binom{k}{i} \cdot \binom{M - k}{r - i} \cdot \frac{k - i}{M - r} / \binom{M}{r} = \frac{1}{(M - r) \binom{M}{r}} \cdot \sum_i \binom{k}{i} \binom{M - k}{r - i} \cdot (k - i) $$ Podemos dividir el $k - i$ a simplificar. Así que estamos interesados en las sumas de las formas: $$ \sum_i \binom{a}{i} \binom{b}{r - i} $$ y $$ \sum_i i \binom{a}{i} \binom{b}{r - i} $$ Ahora, recuerde: $$ (1 + z)^a = \sum_i \binom{a}{i} z^i \\ z \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} (1 + z)^a = \sum_i i \binom{a}{i} z^i $$ y también: $$ \left(\sum_i u_i \right) \cdot \left( \sum_i v_i \right) = \sum_i \sum_{0 \le j \le i} u_j v_{i - j} $$ En particular: \begin{align} \sum_{r \ge 0} \sum_i \binom{a}{i} \binom{b}{r - i} z^r &= \left(\sum_i \binom{a}{i} z^i \right) \cdot \left(\sum_i \binom{b}{i} z^i \right) \\ &= (1 + z)^a \cdot (1 + z)^b \\ &= (1 + z)^{a + b} \end{align} La comparación de los coeficientes de obtener Vandermonde de la convolución: $$ \sum_i \binom{a}{i} \binom{b}{r - i} = \binom{a + b}{r} $$ Para la otra mitad: \begin{align} \sum_r \sum_i i \binom{a}{i} \binom{b}{r - i} z^r &= \left(\sum_i i \binom{a}{i} z^i \right) \cdot \left(\sum_i i \binom{b}{i} z^i \right) \\ &= a z (1 + z)^{a - 1} \cdot (1 + z)^b \\ &= a z (1 + z)^{a + b - 1} \end{align} El coeficiente de $z^r$ aquí es un poco más complicado: $$ [z^r] z (1 + z)^{a + b - 1} = [z^{i - 1}] (1 + z)^{a + b - 1} = a \binom{a + b - 1}{r - 1} $$ Estoy seguro de que usted puede tomar desde aquí.
