Cómo encontrar $A_1A_2 + \cdots + A_{2010} A_{2011}$, donde $A_{n+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{A_n}}$

Question

Mi pregunta es:

Si $$A_{n+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{A_n}}$$ ($ n\in\mathbb{N}$) and $A_1=1$, entonces encontrar el valor de: $$A_1A_2 + A_2A_3 + A_3A4 + \cdots + A{2010} A_{2011}.$ $

Por favor quisiera obtener algunos consejos para resolver esta cuestión.

Answer 1

Aquí está una sugerencia: calcular los primeros pocos valores de $A_n$; Usted notará un patrón claro que se puede demostrar para ser verdad en general con la inducción. Entonces, tenga en cuenta % $ $$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$

Answer 2

Observe que $A_{n+1} = (1+A_n^{-1})^{-1} = A_n/(1+A_n)$, obtenemos $A_{n+1}^{-1} = 1 + A_n^{-1}$, y la relación de recurrencia $A_{n+1} = (\alpha{}A_n+\beta)/(\gamma{}A_n+\delta)$ donde $\gamma\ne0$ puede ser resuelto de manera sistemática:

1. Resolver la ecuación de $x = (\alpha{}x+\beta)/(\gamma{}x+\delta)$.
2. Si la ecuación tiene dos raíces, digamos, $x_1$$x_2$, la secuencia de $\big\langle(A_n-x_1)/(A_n-x_2)\big\rangle_{n>0}$ es una progresión geométrica(AP). Ir a 4.
3. De lo contrario, la ecuación tiene dos raíces, digamos, $x_0$. La secuencia de $\big\langle(A_n-x_0)^{-1}\big\rangle$ es una progresión aritmética(GP).
4. Encontrar una forma cerrada para el AP o el médico de cabecera, a continuación, obtener la solución de la recurrencia.

Algunos degenerados de los casos no se discuten, pero son triviales.