cómo demostrar $\left | \sqrt[n]{a}- \sqrt[n]{b}\right |\leq \sqrt[n]{\left | a-b \right |}$

Question

$$\left | \sqrt[n]{a}- \sqrt[n]{b}\right |\leq \sqrt[n]{\left | a-b \right |},n\in \mathbb{N^{*}},a,b\geq 0\\$$

No logré probarlo, así que si alguien puede probarlo y explicarlo, sería genial.

Answer 1

Diga $x=\sqrt[n]{a}$ y $y=\sqrt[n]{b}$ . Entonces tenemos que probar:

$$ |x-y|^n \leq |x^n-y^n|$$ Por simetría podemos suponer que $x\geq y$ . Dejemos que $z={x\over y}$ . Desde $z\ge 1$ tenemos que probar:

$$ (z-1)^n \leq z^n-1$$

Ahora escribe $t=z-1$ , por lo que tenemos que demostrar $$t^n\leq (t+1)^n-1 $$ lo cual es cierto por el teorema del binomio:

$$t^n\leq t^n + {n\choose 1}t^{n-1}+{n\choose 2}t^{n-2}+...t+1-1$$

Answer 2

Sugerencia: tal vez te ayude $${| \sqrt[n]{a}- \sqrt[n]{b}|=\\ | (\sqrt[n]{a}- \sqrt[n]{b})\times \frac{\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}b^1}+\sqrt[n]{a^{n-3}b^2}+...+\sqrt[n]{b^{n-1}}}{\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}b^1}+\sqrt[n]{a^{n-3}b^2}+...+\sqrt[n]{b^{n-1}}}|=\\ |\frac{a-b}{\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}b^1}+\sqrt[n]{a^{n-3}b^2}+...+\sqrt[n]{b^{n-1}}}| } $$