¿Hace fuerte convergencia a 0 implica convergencia a cero en conjuntos compactos?

Question

He estado luchando con esto un poco y me preguntaba si alguien me puede dar una pista:

Supongamos $\{ T_n\}_1^\infty\subset \mathcal{L}\{ X,Y\}$ es una secuencia de operadores acotados de un espacio de banach $X$ a una normativa espacio de $Y$, de tal manera que $\forall x\in X:\lim_n T_n x=0$. Demostrar que $\lim_n(\sup\{\Vert T_n x\Vert:x\in K\})=0$ sobre cualquier conjunto compacto $K\subset X$.

Por lo que puedo ver, el hecho de que $T_n$ alcanza su máximo en $K$ cualquier $n$ no es suficiente para probar esta, ya que es posible que exista una $\epsilon>0$ tal que para cualquier $N$ $\exists n>N$ tal que $\Vert T_nx\Vert>\epsilon$ algunos $x\in K$, y disminuye a 0 en adelante. Además, este tipo de solución no emplean el hecho de que el $X$ es completa.

He estado tratando de trabajar esta cuestión como una variante del Principio de Acotamiento Uniforme, pero me quedo pegado. De todos modos yo estaría muy agradecido si alguien me pudiera decir si estoy en el camino correcto con este.

Saludos

P. S Esta es la tarea

Answer 1

Sugerencia: a) uniforme fronteridad principio es el camino correcto. b) if $||x - x_0||

Answer 2

Desde $T_nx\to 0$ por cada $x$, $(T_nx)_n$ está delimitado para cada una de las $x$ (secuencias convergentes están delimitadas), así que usted puede aplicar uniforme de acotamiento.

Supongamos que el límite no es cero. Que no existe o que es mayor que $0$, pero en cualquier caso hay un $\varepsilon\gt0$ y una larga $(T_{n_k})_k$ tal que $\sup\{\|T_{n_k}x\|:x\in K\}\gt\varepsilon$ por cada $k$. Esto implica que hay una secuencia $x_1,x_2,\ldots$ $K$ tal que $\|T_{n_k}x_k\|\gt\varepsilon$. Usted puede utilizar la compacidad secuencial de $K$ y el resultado de acotamiento uniforme para derivar una contradicción.