Demostrando que $f_2+f_4+\cdots+f_{2n}=f_{2n+1}-1$ de números de Fibonacci por inducción

Question

<blockquote> <p>Da: $f_1 = f_2 = 1$ y $n \in\mathbb{N}$, $f_{n+2} =f_{n+1} + f_n$.</p> <p>Demostrar que $f_2 + f_4 + \dots + f_{2n} = f_{2n+1}- 1$.</p> </blockquote> <p>¿Empiezas con ajuste $f_2 + f_4 + \dots + f_{2n}= a_n$?</p> <p>Para el caso base que LHS de $a_1=1$$=1$y RHS $=2-1=1$ base así que caso tiene.</p> <p>Entonces la hipótesis inductiva: asumir $f_2 + f_4 + \dots + f_{2n} = f_{2n+1}- 1$</p> <p>$\textbf{NTS}$: $f_2 + f_4 + \dots + f_{2n} +f_{2n+2} = f_{2n+3}- 1$</p> <p>Paso inductivo: por hipótesis inductiva $f_2 + f_4 + \dots + f_{2n}=f_{2n+1}- 1$</p> <p>Así $f_{2n+1}- 1+f_{2n+1}$ = $f_{2n+2}- 1$. Como se muestra.</p> <p>¿Es esto correcto o lo tengo que mostrar más Álgebra en mi paso inductivo?</p>

Answer 1

Sugerencia. El paso inductivo es algo $$ f_2 f4 + \cdots + f {2n} + \color {rojo} {f {2n +2}} = \color {rojo} {f {2n +3}} - 1, $$ entonces usando la hipótesis inductiva, tenemos que demostrar eso $$ f {2n +1}-1 + \color {rojo} {f {2n +2}} = \color {rojo} {f_ {2n +3}} - 1. ¿$$ Puede tomar desde aquí?

Answer 2

Esta es la parte central del argumento inductivo (podrá omitir comentarios--tratar de recomponer el funcionamiento de cada paso y comentar si algo está claro):\begin{align} \sum{i=1}^{k+1}f{2i}&=\sum{i=1}^kf{2i}+f{2k+2}\[1em] &= (f{2k+1}-1)+f{2k+2}\[1em] &= (f{2k+2}+f{2k+1})-1\[1em] &= f{2k+3}-1\[1em] &= f_{2(k+1)+1}-1. \end {Alinee el}