Positivo semidefiniteness de un bloque de la matriz de positivo semidefinite matrices

Question

Dada cualquier matriz simétrica $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B}\\ \mathbf{B}^\mathrm{T}& \mathbf{C} \end{pmatrix}$, las siguientes condiciones son equivalentes:

(1) $\mathbf{M}\succeq 0$ ($\mathbf{M}$ es positivo semidefinite)

(2) $\mathbf{A}\succeq 0$, $\;\;(\mathbf{I}-\mathbf{A}\mathbf{A}^T )\mathbf{B}= 0$, $\;\;\mathbf{C} - \mathbf{B}^T\mathbf{A}^{\dagger }\mathbf{B} \succeq 0$.

(3) $\mathbf{C}\succeq 0$, $\;\;(\mathbf{I}-\mathbf{C}\mathbf{C}^T )\mathbf{B}= 0$, $\;\;\mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{C}^{\dagger }\mathbf{B}^T \succeq 0$.

Entonces, si se nos da que $\mathbf{A}\succeq 0$, $\mathbf{B}\succeq 0$ y $\mathbf{C}\succeq 0$, hay alguna forma de verificar (2) o (3) y por lo tanto a la conclusión de que $\mathbf{M}$ será positivo semidefinite así?

Answer 1

Las condiciones$\;\;(\mathbf{I}-\mathbf{A}\mathbf{A}^T )\mathbf{B}= 0$, $\;\;(\mathbf{I}-\mathbf{C}\mathbf{C}^T )\mathbf{B}= 0$, y $\mathbf{B} \succeq0$, no seguir a partir de nada. W/fuera de ellos la equivalencia de la siguiente manera a partir de la Sylvester criterios de positividad carácter decisivo y determinante de la fórmula para el complemento de Schur. ¿Cuál es el origen del problema?

Answer 2

Sugerencia Por definición una matriz de $M\in\mathbb{R}^{n\times n}$ es positivo semidefinite si $v^TMv\geq 0$ todos los $v\in\mathbb{R}^n$. Utilice el hecho de $ \det M= \det\Big(\mathbf{C} - \mathbf{B}^T\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B} \Big) $

y la prueba por inductin en $n\in\mathbb{N}$$n\geq 1$.