Evaluación de $ \lim_{x \rightarrow 0}\left (\frac{\sin(x)}{x}\right)^\frac{1}{x^2}$

Question

Tengo este problema en los límites $$ \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^\frac{1}{x^2}$$ Lo que estoy haciendo aquí es que tomar el registro y luego aplicar la regla de L-Hospital $$y= \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^\frac{1}{x^2} $$ entonces $$\ln(y)=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\ln\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)$$ ahora se convierte en $\frac{0}{0}$ pero el problema es cómo tomar la derivada aquí, al diferenciar $\ln\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)$ se convertirá en $\frac{x}{\sin(x)}$ entonces tendremos que diferenciar una vez más como lo hacemos en caso de $f(f(x))$ ? $\sin(x)$ y $x$ ¿se diferenciarán por separado o juntos?

Answer 1

Utilice la serie de Taylor para obtener $$\lim_{x\to0}\frac1{x^2}\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)=\lim_{x\to0}\frac1{x^2}\ln\left(\frac{ x-x^3/6+o(x^3)}{x}\right)=\lim_{x\to0}\frac1{x^2}\ln(1-x^2/6+o(x^2))\\=\lim_{x\to0}\frac1{x^2}(-x^2/6+o(x^2))=-\frac16$$ por lo que el límite deseado es $e^{-\frac16}$ .

Answer 2

$$\ln(y)=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\ln\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)$$
Se convierte: $$\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{2x^2\sin(x)}$$ Tras aplicar de nuevo la regla de L'Hôpital diferenciando dos veces más con respecto a $x$ obtenemos:
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\cos(x)}{-2x\sin(x)+2\cos(x)+4\cos(x)}=-1/6$$

Answer 3

$$\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^\frac{1}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin x}{x}-1\right)^\frac{1}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\left[\left(1+\frac{\sin x-x}{x}\right)^\frac{x}{\sin x-x}\right]^{\frac{\sin x-x}{x}\frac{1}{x^2}}=e^{-\frac 1 6}$$

Answer 4

Utilizando $$\displaystyle \sin (\pi z) = \pi z\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)\;,$$ Entonces ponga $\displaystyle \pi z= x\Rightarrow z=\frac{x}{\pi}$

Así que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\rightarrow 0}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{\pi^2n^2}\right)^{\frac{1}{x^2}}$$

Ahora podemos intercambiar Producto y Límite, obtenemos

$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}} = \prod_{n=1}^{\infty}\lim_{x\rightarrow 0}\left(1-\frac{x^2}{\pi^2n^2}\right)^{\frac{1}{x^2}} = \prod_{n=1}^{\infty}e^{-\frac{1}{\pi^2n^2}} = e^{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\pi^2n^2}} = e^{-\frac{1}{6}}$$