Representaciones irreducibles de matriz de Cartan

Question

Necesito un poco de ayuda para entender cómo usted puede construir las representaciones irreducibles de un álgebra de conocer sus raíces ni su matriz de Cartan, que me dicen que más, sin duda alguna. Desafortunadamente, a pesar de mi más sincera intentos, he sido incapaz de entender todas las instrucciones de cómo hacer esto que yo hasta ahora han llegado a través de o han sido enviados. El más cercano que he llegado a algo que entiendo es el capítulo 9.2 de Howard Georgi del Álgebras de Lie en Física de Partículas, pero todavía estoy tropezando en la oscuridad aquí, y así un ejemplo de que el procedimiento sería muy, muy agradable.

Digamos que estamos buscando en el álgebra $SU(3)$ que tiene raíces $$\pm (1,0) ,\quad \pm (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) , \quad \pm (\frac{1}{2},- \frac{\sqrt{3}}{2})$$ y la matriz de Cartan

\begin{equation*} K_{ij} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{ecuación*}

¿Cómo ir sobre la construcción de las matrices para los generadores de esta álgebra en la representación con Dynkin los coeficientes de (1,1), es decir, $\mathbf{8}$?

Answer 1

Esta tarea es más compleja que la tarea de resolver una ecuación cuadrática, por ejemplo, y uno debe dominar una parte importante de un libro de texto – como Georgi del libro de texto – y tal vez algo más allá de que tenga todo lo que necesita.

Para el 8-dimensiones de la representación de $SU(3)$, las cosas se simplifican porque es la "adjoint rep" de $SU(3)$ – en el espacio vectorial que coincide formalmente con el álgebra de la Mentira en sí misma. Y la acción del generador de $G_i$ sobre la base de vectores $V_j=G_j$ de los adjuntos representación está dada por $$ G_i (V_j) = [G_i,V_j]= \sum_k f_{ij}{}^k G_k $$ Esto implica que la estructura de las constantes de $f$ directamente codificar los elementos de la matriz del generador de $G_i$ con respecto a la adjoint representación – $j$ $k$ etiqueta de la fila y la columna, respectivamente.

La estructura de las constantes de $f$ determinación de los conmutadores pueden ser extraídos de todas las raíces. Toda la estructura matemática es hermosa, pero la descomposición de los generadores bajo el Cartan subalgebra tiene varias piezas, y por lo tanto un mayor número de diferentes tipos de pares de piezas" que aparecen como los conmutadores.

Algunos ($r$, rango) de los generadores $G_i$ se identifican con la Cartan generadores $u_a$. El resto de los generadores $G_j$ se asocian únicamente con todas las raíces.

Si sólo dispone de la matriz de Cartan, efectivamente tienes el interior de los productos de la simple raíces sólo. Primero debe obtener todas las raíces, y aquellos que están conectados con el $d-r$ (dimensión menos rango) a raíz de vectores $r_j$.

Los conmutadores de dos generadores de Cartan se desvanecen, $$[h_i,h_j]=0$$ El colector de un generador de Cartan con un no-Cartan generador está dada por $$[h_i,G_{r(j)}] = r_i G_{r(j)}$$ porque hemos organizado la no-Cartan los generadores simultánea autoestados bajo todos los generadores de Cartan. Finalmente, el colector $$[G_{r(i)},G_{r(j)}]$$ es cero si $r_i=r_j$. Es natural de la combinación lineal de las $h_i$ generadores de si la raíz vectores obedecer $r_i=-r_j$. Si $r_i+r_j$ es un vector que no es una raíz de vectores, el colector tiene que desaparecer. Y si $r_i+r_j$ es una raíz vector sino $r_i\neq \pm r_j$, entonces el colector es proporcional a $G_{r(i)+r(j)}$ correspondiente a esta "suma" de la raíz del vector. El coeficiente (en su mayoría signo) en frente de este colector es sutil.

Una vez que tengas todos estos conmutadores, se han restaurado todas las constantes de estructura $f$, y por lo tanto, todas las entradas de la matriz con respecto a la adjoint representación.

Para encontrar elementos de la matriz para una representación general es mucho más compleja. Primero debe averiguar lo que las representaciones son. Normalmente, usted desea comenzar con la fundamental (y/o antifundamental) rep, y todos los demás pueden obtenerse como los términos de la composición de una suma directa de descomposición del tensor de productos de muchas copias de la fundamental (y/o antifundamental, si es diferente) la representación.

Todas las representaciones pueden ser obtenidos a partir de la ponderación de celosía que es un subconjunto de la raíz de celosía y es similar. De hecho, el peso de la celosía es el doble (en la "forma" espacio vectorial sentido) de la raíz de celosía en virtud de la natural interior del producto.

En la práctica, los físicos no hacer siempre los procedimientos descritos en este orden ya que no es como la Naturaleza nos pide para resolver problemas. Tenemos que aprender a tratar con los grupos que tenemos – que, en algún momento, incluye todos los compactos simple Mentira grupos como el "núcleo" (especial unitario y ortogonal, simpléctica, y cinco excepcional), y nos enteramos de los representantes de éstas se encuentran en los grupos de la obvia fundamentales, el adjunto, y el patrón de cómo obtener los más complicados.

Me temo que no tiene ningún sentido para llenar los "huecos" si se necesita insistir en algo ya que de esta manera, sería de poco a poco, se vio obligado a escribir otro libro de texto en la Mentira de grupos y teoría de la representación como esta respuesta, y no creo que ese trabajo será debidamente recompensado incluso este trabajo no fue. ;-)